Вариант 3. 1. Чему равны углы треугольников, на которые биссектриса разбивает равносторонний треугольник?

1. **Ответ: $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$.** В равностороннем треугольнике все углы равны по $60^\circ$. Биссектриса делит угол пополам: $60^\circ : 2 = 30^\circ$. Таким образом, в каждом из двух полученных треугольников углы равны $30^\circ$, $60^\circ$ (общий с основным треугольником) и $90^\circ$ (так как биссектриса в равностороннем треугольнике является и высотой). 2. **Ответ: $62^\circ$.** Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Пусть данный угол $\angle C = 124^\circ$. Тогда сумма двух других углов $\angle A + \angle B = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$. Биссектрисы делят эти углы пополам. В треугольнике, образованном биссектрисами и стороной $AB$, сумма углов при основании равна $(\angle A + \angle B) : 2 = 56^\circ : 2 = 28^\circ$. Третий угол в этом треугольнике (тупой угол между биссектрисами) равен $180^\circ - 28^\circ = 152^\circ$. Острый угол между биссектрисами смежен с ним: $180^\circ - 152^\circ = 28^\circ$. **Допущение:** В условии под «острым углом, образованным биссектрисами» обычно понимается угол, дополняющий тупой до $180^\circ$, либо угол, опирающийся на внешнюю сумму. Согласно формуле, угол между биссектрисами равен $90^\circ - \frac{\angle C}{2}$ (для острого) или $90^\circ + \frac{\angle C}{2}$ (для тупого). В данном случае $90^\circ - 62^\circ = 28^\circ$. 3*. **Ответ: $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$.** Пусть смежный угол (внутренний угол треугольника) равен $x$, тогда внешний угол равен $\frac{x}{3}$. Сумма смежных углов: $x + \frac{x}{3} = 180^\circ \Rightarrow \frac{4x}{3} = 180^\circ \Rightarrow x = 135^\circ$. Если внутренний угол $135^\circ$, то это угол при вершине (так как при основании два таких угла дали бы в сумме $> 180^\circ$). Тогда углы при основании: $(180^\circ - 135^\circ) : 2 = 22,5^\circ$. **Второй случай:** Если внешний угол равен $x$, а смежный с ним внутренний $\frac{x}{3}$. Тогда $x + \frac{x}{3} = 180^\circ \Rightarrow x = 135^\circ$ (внешний), $180 - 135 = 45^\circ$ (внутренний). Если $45^\circ$ — угол при вершине, то углы при основании $(180 - 45) : 2 = 67,5^\circ$. Если $45^\circ$ — угол при основании, то второй угол при основании тоже $45^\circ$, а угол при вершине $180 - (45 + 45) = 90^\circ$. 4*. **Доказательство:** Пусть в $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ ($AB=BC, A_1B_1=B_1C_1$) имеем $\angle A = \angle A_1$ и высоты $BD = B_1D_1$, проведенные к боковым сторонам $AC$ и $A_1C_1$. 1) Рассмотрим прямоугольные $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ (где $\angle D = \angle D_1 = 90^\circ$). У них $\angle A = \angle A_1$ и катет $BD = B_1D_1$. 2) По катету и противолежащему острому углу $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$. 3) Из равенства следует, что гипотенузы $AB = A_1B_1$. 4) Так как треугольники равнобедренные и у них равны боковые стороны и углы при основании, то они равны по первому признаку (две стороны и угол между ними) или по второму.