1. Чему равны углы треугольников, на которые высота разбивает равносторонний треугольник?

**1. Ответ: $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$** В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Высота в таком треугольнике также является биссектрисой и медианой. Значит, она делит угол $60^\circ$ пополам ($30^\circ$ и $30^\circ$) и образует со стороной прямой угол ($90^\circ$). Получившиеся треугольники имеют углы $30^\circ, 60^\circ$ и $90^\circ$. **2. Ответ: $\angle A = 76^\circ$** Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle A = 2x$. $x + 2x = 114^\circ$ $3x = 114^\circ$ $x = 38^\circ$ (это $\angle B$) $\angle A = 38^\circ \cdot 2 = 76^\circ$. **3. Доказательство:** 1. В равнобедренном $\triangle ABC$ с основанием $AC$ углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. 2. Так как $AM$ и $CM$ — биссектрисы, то $\angle MAC = \frac{1}{2} \angle BAC$ и $\angle MCA = \frac{1}{2} \angle BCA$. 3. Следовательно, $\angle MAC = \angle MCA$. 4. Если в треугольнике ($AMC$) два угла равны, то он равнобедренный (по признаку). Что и требовалось доказать. **4. Ответ: 6** В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Возможны два случая для сторон: $(6, 6, 3)$ или $(3, 3, 6)$. Проверим неравенство треугольника (сумма двух любых сторон должна быть больше третьей): 1) $6 + 6 > 3$ (верно), $6 + 3 > 6$ (верно). Такой треугольник существует. Основание равно 3 или 6. Но если боковые стороны по 6, то основание — 3. Если боковые по 3, то основание — 6. 2) $3 + 3 > 6$ (ложно: $6 = 6$). Треугольник со сторонами $3, 3, 6$ не существует. Значит, боковые стороны равны 6, а основание — 3. Однако, если в условии спрашивается именно значение из предложенных, которое может быть основанием: **Допущение:** Если стороны треугольника $6, 6$ и $3$, то основание $3$. Если стороны $3, 3$ и $6$ — невозможен. Проверим ещё раз: $3+3=6$, не больше 6. Значит, единственный вариант сторон: $6, 6, 3$, где основание равно 3. **Поправка:** В задаче спрашивается «Чему равно основание». Если боковые стороны 6, основание 3. Если боковые стороны 3, основание 6 (невозможно). **Ответ: 3.**