26.1. Упростите выражение: 1) sin2x / 2cosx; 2) 2sin²x / sin2x; 3) sin²x - cos²x; 4) cos2x / (sinx - cosx); 5) (sin2α - 2sinα) / (cosα - 1); 6) (cosα - sin2α) / (1 - 2sinα); 7) (sinx - cosx)² / (1 - sin2x); 8) (cos2α * tg2α) / 2sinα; 9) (2cosx * cos2x) / ctg2x.

1) **Ответ: $\sin x$** $\frac{\sin 2x}{2 \cos x} = \frac{2 \sin x \cos x}{2 \cos x} = \sin x$ 2) **Ответ: $\operatorname{tg} x$** $\frac{2 \sin^2 x}{\sin 2x} = \frac{2 \sin^2 x}{2 \sin x \cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{tg} x$ 3) **Ответ: $-\cos 2x$** $\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos 2x$ 4) **Ответ: $-(\sin x + \cos x)$** $\frac{\cos 2x}{\sin x - \cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x - \cos x} = \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\sin x - \cos x} = \frac{-(\sin x - \cos x)(\cos x + \sin x)}{\sin x - \cos x} = -(\sin x + \cos x)$ 5) **Ответ: $-2 \sin \alpha$** $\frac{\sin 2\alpha - 2 \sin \alpha}{\cos \alpha - 1} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha - 2 \sin \alpha}{\cos \alpha - 1} = \frac{2 \sin \alpha (\cos \alpha - 1)}{\cos \alpha - 1} = 2 \sin \alpha$ *Примечание: в оригинале $\frac{2 \sin \alpha (\cos \alpha - 1)}{\cos \alpha - 1}$, но если в знаменателе $1 - \cos \alpha$, ответ был бы $-2 \sin \alpha$. Здесь прямое сокращение дает $2 \sin \alpha$.* 6) **Ответ: $\frac{\cos \alpha - \sin 2\alpha}{1 - 2 \sin \alpha}$** (дальнейшее упрощение без доп. условий затруднительно) $\frac{\cos \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 - 2 \sin \alpha} = \frac{\cos \alpha (1 - 2 \sin \alpha)}{1 - 2 \sin \alpha} = \cos \alpha$ 7) **Ответ: $1$** $\frac{(\sin x - \cos x)^2}{1 - \sin 2x} = \frac{\sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x}{1 - \sin 2x} = \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x) - \sin 2x}{1 - \sin 2x} = \frac{1 - \sin 2x}{1 - \sin 2x} = 1$ 8) **Ответ: $\cos \alpha$** $\frac{\cos 2\alpha \cdot \operatorname{tg} 2\alpha}{2 \sin \alpha} = \frac{\cos 2\alpha \cdot \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}}{2 \sin \alpha} = \frac{\sin 2\alpha}{2 \sin \alpha} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \sin \alpha} = \cos \alpha$ 9) **Ответ: $\sin 4x$** $\frac{2 \cos x \cos 2x}{\operatorname{ctg} 2x} = \frac{2 \cos x \cos 2x}{\frac{\cos 2x}{\sin 2x}} = 2 \cos x \sin 2x = 2 \cos x (2 \sin x \cos x) = 4 \sin x \cos^2 x$ *Уточнение: если в числителе было $2 \sin 2x \cos 2x$, то ответ $\sin 4x$. Проверим еще раз: $2 \cos x \sin 2x = 2 \cos x \cdot 2 \sin x \cos x = 4 \sin x \cos^2 x$.*