Найдите наименьшее натуральное число, оканчивающееся на цифру 2, которое удваивается, если переставить эту цифру в начало.

**Ответ: 105263157894736842** Пусть искомое число $n$ имеет вид $10x + 2$, где $x$ — число, полученное отбрасыванием последней двойки. Если $k$ — количество цифр в числе $x$, то при перестановке двойки в начало мы получаем число $2 \cdot 10^k + x$. По условию задачи новое число в 2 раза больше исходного: $2 \cdot 10^k + x = 2 \cdot (10x + 2)$ $2 \cdot 10^k + x = 20x + 4$ $19x = 2 \cdot 10^k - 4$ $19x = 2 \cdot (10^k - 2)$ Нам нужно найти наименьшее натуральное $k$, при котором число $2 \cdot (10^k - 2)$ делится на $19$. Так как $19$ — простое число и оно не делит $2$, то $(10^k - 2)$ должно делиться на $19$. Будем подбирать $k$, проверяя остатки от деления $10^k$ на $19$: - $k=1: 10 \equiv 10 \pmod{19}$ - $k=2: 100 \equiv 5 \pmod{19}$ - $k=3: 50 \equiv 12 \pmod{19}$ - $k=4: 120 \equiv 6 \pmod{19}$ - ... и так далее, пока не получим остаток $2$. Проще выполнить деление «уголком», восстанавливая число $x$ с конца: 1. Последняя цифра $x$ должна быть $4$, так как $2 \cdot 2 = 4$. 2. Следующая цифра: $4 \cdot 2 = 8$. 3. Следующая цифра: $8 \cdot 2 = 16$ (пишем $6$, $1$ в уме). 4. Следующая цифра: $6 \cdot 2 + 1 = 13$ (пишем $3$, $1$ в уме). 5. Продолжаем процесс, пока не получим цифру $1$, после которой при умножении на $2$ и прибавлении остатка снова получится $2$ без переноса в следующий разряд. $\begin{array}{r} 10526315789473684 \times 2 = 21052631578947368 \end{array}$ Добавляя в конец двойку, получаем искомое число: $105263157894736842$.