Один из углов при основании треугольника в 2 раза больше другого. Высота, опущенная на основание, делит его на два отрезка. Докажите, что разность этих отрезков равна одной из сторон треугольника (рис. 15.19).

15.8 **Ответ: $AD - DC = BC$ (разность отрезков равна боковой стороне)** **Дано:** $\triangle ABC$, $BD \perp AC$ (высота), $\angle A = \alpha$, $\angle C = 2\alpha$. **Доказать:** $AD - DC = BC$ (или другой стороне). **Решение:** 1. Проведём луч $CK$ так, чтобы $\angle BCK = \angle BCA = 2\alpha$, но это не упростит задачу. Воспользуемся методом дополнительного построения на основании. 2. Отметим на стороне $AD$ точку $M$ такую, что $DM = DC$. 3. Рассмотрим $\triangle MCB$. Так как $BD$ — высота и медиана в $\triangle MCM$ (по построению $DM=DC$), то $\triangle MCB$ — равнобедренный ($MB = BC$). 4. Тогда $\angle BMC = \angle BCM$ (углы при основании). 5. В равнобедренном $\triangle MCB$ высота $BD$ является также биссектрисой, значит $\angle MBD = \angle DBC$. 6. Рассмотрим $\triangle ABC$. Внешний угол $\angle BCD$ для $\triangle MBC$ не подходит. Заметим, что в треугольнике $MBC$ углы при основании $M$ и $C$ равны. 7. Пусть $\angle C = 2\alpha$. Проведём биссектрису угла $C$. Обозначим её $CL$. Но проще: отложим на $AD$ отрезок $MD = DC$. Тогда $\triangle MBC$ равнобедренный, $MB = BC$. Угол $\angle BCD$ в прямоугольном $\triangle BDC$ равен $90^\circ - 2\alpha$. 8. Чтобы доказать, что $AM = BC$, нужно показать, что $\triangle ABM$ равнобедренный. 9. В $\triangle BDC$: $\angle CBD = 90^\circ - 2\alpha$. 10. В $\triangle MBC$ (равнобедренном): $\angle BMC = \angle BCM = (180^\circ - (180^\circ - 4\alpha))/2$ — сложный путь. 11. Простой путь: Отложим на луче $AC$ точку $K$ так, что $DC = DK$. Тогда $\triangle BKC$ равнобедренный ($BD$ — медиана и высота). Значит $BC = BK$ и $\angle BKC = \angle BCK = 2\alpha$. 12. Рассмотрим $\triangle ABK$. Угол $\angle BKC$ является внешним для него. Значит $\angle BKC = ∠A + ∠ABK$. $2\alpha = \alpha + \angle ABK \Rightarrow \angle ABK = \alpha$. 13. Так как $\angle A = \angle ABK = \alpha$, то $\triangle ABK$ — равнобедренный, $AK = BK$. 14. Учитывая, что $BK = BC$, получаем $AK = BC$. 15. Отрезок $AD = AK + KD = BC + DC$. Следовательно, $AD - DC = BC$, что и требовалось доказать.