Найдите корни уравнения: а) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 840; б) x(x - 2)(x - 4)(x - 6) - 105 = 0; в) (x + 4)(x + 6)(x + 8)(x + 10) = 5760; г) (y - 2)(y - 3)(y - 4)(y - 5) - 360 = 0.

577. Найдите корни уравнения: **а) $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 840$** **Ответ: $x_1 = 2; x_2 = -7$** Перемножим крайние и средние скобки: $((x + 1)(x + 4))((x + 2)(x + 3)) = 840$ $(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) = 840$ Пусть $x^2 + 5x + 4 = t$, тогда: $t(t + 2) = 840$ $t^2 + 2t - 840 = 0$ $D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (-840) = 4 + 3360 = 3364 = 58^2$ $t_1 = \frac{-2 + 58}{2} = 28$; $t_2 = \frac{-2 - 58}{2} = -30$ 1) $x^2 + 5x + 4 = 28 \Rightarrow x^2 + 5x - 24 = 0 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -8$ (ошибка в первоначальном расчете корней через дискриминант, пересчитаем: $D=25+96=121$, $x=\frac{-5\pm11}{2} \Rightarrow x_1=3, x_2=-8$) 2) $x^2 + 5x + 4 = -30 \Rightarrow x^2 + 5x + 34 = 0$ ($D < 0$, корней нет) **Исправленный ответ: $x_1 = 3; x_2 = -8$** **б) $x(x - 2)(x - 4)(x - 6) - 105 = 0$** **Ответ: $x_1 = 7; x_2 = -1$** Группируем: $(x(x - 6))((x - 2)(x - 4)) - 105 = 0$ $(x^2 - 6x)(x^2 - 6x + 8) - 105 = 0$ Замена $x^2 - 6x = t$: $t(t + 8) - 105 = 0 \Rightarrow t^2 + 8t - 105 = 0$ $D = 64 + 420 = 484 = 22^2$ $t_1 = \frac{-8 + 22}{2} = 7$; $t_2 = \frac{-8 - 22}{2} = -15$ 1) $x^2 - 6x = 7 \Rightarrow x^2 - 6x - 7 = 0 \Rightarrow x_1 = 7, x_2 = -1$ 2) $x^2 - 6x = -15 \Rightarrow x^2 - 6x + 15 = 0$ ($D < 0$) **в) $(x + 4)(x + 6)(x + 8)(x + 10) = 5760$** **Ответ: $x_1 = 2; x_2 = -16$** Группируем: $((x + 4)(x + 10))((x + 6)(x + 8)) = 5760$ $(x^2 + 14x + 40)(x^2 + 14x + 48) = 5760$ Замена $x^2 + 14x + 40 = t$: $t(t + 8) = 5760 \Rightarrow t^2 + 8t - 5760 = 0$ $D = 64 + 23040 = 23104 = 152^2$ $t_1 = \frac{-8 + 152}{2} = 72$; $t_2 = -80$ 1) $x^2 + 14x + 40 = 72 \Rightarrow x^2 + 14x - 32 = 0 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -16$ 2) $x^2 + 14x + 40 = -80 \Rightarrow x^2 + 14x + 120 = 0$ ($D < 0$) **г) $(y - 2)(y - 3)(y - 4)(y - 5) - 360 = 0$** **Ответ: $y_1 = 8; y_2 = -1$** Группируем: $((y - 2)(y - 5))((y - 3)(y - 4)) - 360 = 0$ $(y^2 - 7y + 10)(y^2 - 7y + 12) - 360 = 0$ Замена $y^2 - 7y + 10 = t$: $t(t + 2) - 360 = 0 \Rightarrow t^2 + 2t - 360 = 0$ $D = 4 + 1440 = 1444 = 38^2$ $t_1 = 18; t_2 = -20$ 1) $y^2 - 7y + 10 = 18 \Rightarrow y^2 - 7y - 8 = 0 \Rightarrow y_1 = 8, y_2 = -1$ 2) $y^2 - 7y + 10 = -20 \Rightarrow y^2 - 7y + 30 = 0$ ($D < 0$)