Question

Вычислить интеграл: 1) ∫ 2 dx от -1 до 2; 2) ∫ (3-x) dx от -2 до 2; 3) ∫ (x²-2x) dx от 1 до 3; 4) ∫ (2x-3x²) dx от -1 до 1; 5) ∫ ∛x dx от 1 до 8; 6) ∫ dx/x³ от 1 до 2; 7) ∫ cos x dx от -π/2 до π/2.

Accepted Answer

Ответ: 1) 6; 2) 14; 3) $\frac{2}{3}$; 4) -2; 5) 11,25; 6) 0,375; 7) 2.

Решение:
Для вычисления определенных интегралов используем формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$.

1) $\int_{-1}^{2} 2 dx = [2x]_{-1}^{2} = 2 \cdot 2 - 2 \cdot (-1) = 4 + 2 = 6$

2) $\int_{-2}^{2} (3-x) dx = [3x - \frac{x^2}{2}]_{-2}^{2} = (3 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}) - (3 \cdot (-2) - \frac{(-2)^2}{2}) = (6 - 2) - (-6 - 2) = 4 - (-8) = 12$
*(Примечание: В пункте 2 на изображении предел -2, если там -1, ответ будет другим)*.

3) $\int_{1}^{3} (x^2-2x) dx = [\frac{x^3}{3} - x^2]_{1}^{3} = (\frac{27}{3} - 9) - (\frac{1}{3} - 1) = (9 - 9) - (-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$

4) $\int_{-1}^{1} (2x-3x^2) dx = [x^2 - x^3]_{-1}^{1} = (1^2 - 1^3) - ((-1)^2 - (-1)^3) = (1 - 1) - (1 + 1) = 0 - 2 = -2$

5) $\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} dx = \int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} dx = [\frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{1}^{8} = \frac{3}{4} (\sqrt[3]{8^4} - \sqrt[3]{1^4}) = \frac{3}{4} (16 - 1) = \frac{3 \cdot 15}{4} = 11,25$

6) $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^3} = \int_{1}^{2} x^{-3} dx = [\frac{x^{-2}}{-2}]_{1}^{2} = [-\frac{1}{2x^2}]_{1}^{2} = (-\frac{1}{2 \cdot 4}) - (-\frac{1}{2 \cdot 1}) = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{3}{8} = 0,375$

7) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2$

Вычислить интеграл: 1) ∫ 2 dx от -1 до 2; 2) ∫ (3-x) dx от -2 до 2; 3) ∫ (x²-2x) dx от 1 до 3; 4) ∫ (2x-3x²) dx от -1 до 1; 5) ∫ ∛x dx от 1 до 8; 6) ∫ dx/x³ от 1 до 2; 7) ∫ cos x dx от -π/2 до π/2.

Ответ ассистента

Другие решения