Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график

**Допущение: Выполняю Вариант 1, так как номер варианта не указан.** **а) $y = 4 - 2x - 7x^2$** **Ответ:** Функция возрастает на $(-\infty; -\frac{1}{7}]$, убывает на $[-\frac{1}{7}; +\infty)$. Точка максимума $x = -\frac{1}{7}$, $y_{max} = 4\frac{1}{7}$. **Решение:** 1. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. 2. Найдем производную: $y' = (4 - 2x - 7x^2)' = -2 - 14x$. 3. Найдем критические точки: $-2 - 14x = 0 \Rightarrow 14x = -2 \Rightarrow x = -\frac{1}{7}$. 4. Определим знаки производной: - При $x < -\frac{1}{7}$ (например, $x = -1$): $y' = -2 + 14 = 12 > 0$ (возрастает). - При $x > -\frac{1}{7}$ (например, $x = 0$): $y' = -2 - 0 = -2 < 0$ (убывает). 5. $x = -\frac{1}{7}$ — точка максимума. 6. График — парабола, ветви вниз, вершина в $(-\frac{1}{7}; 4\frac{1}{7})$. :::div .chart-container @chart-1::: **б) $y = \frac{x}{x+1}$** **Ответ:** Функция возрастает на $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Экстремумов нет. Вертикальная асимптота $x = -1$, горизонтальная $y = 1$. **Решение:** 1. Область определения: $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. 2. Найдем производную по правилу $\left(\frac{u}{v}\right)'$: $y' = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1(x+1) - x(1)}{(x+1)^2} = \frac{x + 1 - x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$. 3. Анализ производной: так как $(x+1)^2 > 0$ для всех $x$ из $D(y)$, то $y' > 0$ на всей области определения. Функция всегда возрастает. 4. Асимптоты: - Вертикальная: $x = -1$. - Горизонтальная: $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x+1} = 1$, значит $y = 1$. :::div .chart-container @chart-2:::