Решите треугольник ABC, если: а) ∠A=60°, ∠B=40°, c=14; в) ∠A=80°, a=16, b=10; д) ∠A=60°, a=10, b=7; ж) b=32, c=45, ∠A=87°; и) a=6, b=7,3, c=4,8.

Для решения треугольников используются теорема синусов, теорема косинусов и свойство суммы углов треугольника (она всегда $180^{\circ}$). **а) $\angle A=60^{\circ}$, $\angle B=40^{\circ}$, $c=14$** 1. $\angle C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 40^{\circ}) = 80^{\circ}$ 2. По теореме синусов $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow a = \frac{14 \cdot \sin 60^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} \approx \frac{14 \cdot 0,866}{0,9848} \approx 12,3$ 3. $b = \frac{c \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{14 \cdot \sin 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} \approx \frac{14 \cdot 0,6428}{0,9848} \approx 9,1$ **Ответ:** $\angle C=80^{\circ}$, $a \approx 12,3$, $b \approx 9,1$. **в) $\angle A=80^{\circ}$, $a=16$, $b=10$** 1. По теореме синусов: $\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{10 \cdot \sin 80^{\circ}}{16} \approx \frac{10 \cdot 0,9848}{16} \approx 0,6155$ 2. $\angle B = \arcsin(0,6155) \approx 38^{\circ}$ 3. $\angle C = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 38^{\circ}) = 62^{\circ}$ 4. $c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{16 \cdot \sin 62^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} \approx \frac{16 \cdot 0,8829}{0,9848} \approx 14,3$ **Ответ:** $\angle B \approx 38^{\circ}$, $\angle C \approx 62^{\circ}$, $c \approx 14,3$. **д) $\angle A=60^{\circ}$, $a=10$, $b=7$** 1. $\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{7 \cdot \sin 60^{\circ}}{10} = \frac{7 \cdot \sqrt{3}/2}{10} \approx 0,6062$ 2. $\angle B \approx 37,3^{\circ}$ 3. $\angle C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 37,3^{\circ}) = 82,7^{\circ}$ 4. $c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{10 \cdot \sin 82,7^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} \approx \frac{10 \cdot 0,9919}{0,866} \approx 11,5$ **Ответ:** $\angle B \approx 37,3^{\circ}$, $\angle C \approx 82,7^{\circ}$, $c \approx 11,5$. **ж) $b=32$, $c=45$, $\angle A=87^{\circ}$** 1. По теореме косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A = 32^2 + 45^2 - 2 \cdot 32 \cdot 45 \cdot \cos 87^{\circ} \approx 1024 + 2025 - 2880 \cdot 0,0523 \approx 2898,3$ 2. $a \approx \sqrt{2898,3} \approx 53,8$ 3. $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \approx \frac{53,8^2 + 45^2 - 32^2}{2 \cdot 53,8 \cdot 45} \approx \frac{3895,44}{4842} \approx 0,8045 \Rightarrow \angle B \approx 36,4^{\circ}$ 4. $\angle C = 180^{\circ} - (87^{\circ} + 36,4^{\circ}) = 56,6^{\circ}$ **Ответ:** $a \approx 53,8$, $\angle B \approx 36,4^{\circ}$, $\angle C \approx 56,6^{\circ}$. **и) $a=6$, $b=7,3$, $c=4,8$** 1. $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{7,3^2 + 4,8^2 - 6^2}{2 \cdot 7,3 \cdot 4,8} = \frac{53,29 + 23,04 - 36}{70,08} \approx \frac{40,33}{70,08} \approx 0,5755$ 2. $\angle A = \arccos(0,5755) \approx 54,9^{\circ}$ 3. $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{6^2 + 4,8^2 - 7,3^2}{2 \cdot 6 \cdot 4,8} = \frac{36 + 23,04 - 53,29}{57,6} \approx 0,100 \Rightarrow \angle B \approx 84,3^{\circ}$ 4. $\angle C = 180^{\circ} - (54,9^{\circ} + 84,3^{\circ}) = 40,8^{\circ}$ **Ответ:** $\angle A \approx 54,9^{\circ}$, $\angle B \approx 84,3^{\circ}$, $\angle C \approx 40,8^{\circ}$.