Из вершины B треугольника ABC, сторона AC которого лежит в плоскости α, проведён к этой плоскости перпендикуляр BB1. Найдите расстояния от точки B до прямой AC и до плоскости α, если AB = 2 см, ∠BAC = 150° и двугранный угол BACB1 равен 45°.

**Ответ: $\text{расстояние до } AC = 1 \text{ см}$, $\text{расстояние до } \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ см}$.** **Решение:** 1. **Найдем расстояние от точки $B$ до прямой $AC$.** Это длина перпендикуляра $BH$, опущенного из вершины $B$ на прямую $AC$. Так как $\angle BAC = 150^{\circ}$, то точка $H$ лежит на продолжении стороны $AC$ за точку $A$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ (где $\angle AHB = 90^{\circ}$): $\angle BAH = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$ (как смежный с $\angle BAC$). $BH = AB \cdot \sin(30^{\circ}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \text{ см}$. 2. **Найдем расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$.** По условию это длина перпендикуляра $BB_1$. Рассмотрим треугольник $B B_1 H$. Так как $BB_1 \perp \alpha$, а $BH \perp AC$ (по построению), то по теореме о трех перпендикулярах $B_1 H \perp AC$. Следовательно, $\angle B H B_1$ — это линейный угол двугранного угла между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\alpha$. По условию $\angle B H B_1 = 45^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике $B B_1 H$ ($\angle B B_1 H = 90^{\circ}$): $BB_1 = BH \cdot \sin(45^{\circ}) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ см}$.