Из точки к плоскости α проведены две наклонные. Найдите расстояние от данной точки до плоскости, если угол между данными наклонными равен 60°, а их проекции равны по 3 см каждая и взаимно перпендикулярны.

**Ответ: 3 см** **Решение:** Пусть $S$ — точка вне плоскости $\alpha$, а $O$ — её проекция на плоскость $\alpha$. Тогда $SO$ — перпендикуляр к плоскости, длина которого и есть искомое расстояние $h$. 1. Пусть $SA$ и $SB$ — наклонные. По условию их проекции $OA$ и $OB$ на плоскость $\alpha$ равны: $OA = OB = 3$ см. 2. Также сказано, что проекции взаимно перпендикулярны: $OA \perp OB$. Значит, треугольник $\triangle AOB$ — прямоугольный и равнобедренный. 3. По теореме Пифагора найдём квадрат расстояния между основаниями наклонных ($AB$): $AB^2 = OA^2 + OB^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$. 4. В треугольнике $\triangle ASB$ угол между наклонными $\angle ASB = 60^\circ$. Так как наклонные имеют равные проекции ($OA = OB$), то и сами наклонные равны ($SA = SB$). 5. Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ является равносторонним. Значит, $SA = SB = AB$. $SA^2 = AB^2 = 18$. 6. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$ (где $\angle SOA = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдём высоту $h = SO$: $SO^2 = SA^2 - OA^2$ $SO^2 = 18 - 3^2 = 18 - 9 = 9$ $SO = \sqrt{9} = 3$ см.