Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона ее основания равна a, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведенного через вершину пирамиды и большую диагональ основания.

**Ответ: $S_{бок} = \frac{6a \sqrt{S^2 - 3a^2 S + 3a^4}}{a}$ или $3a \cdot h$ (где $h$ — апофема).** **Решение:** 1. Пусть сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $a$. Основание — правильный шестиугольник. Его большая диагональ $D = 2a$. 2. Площадь боковой грани $S_{гр}$ по условию равна площади сечения $S_{сеч}$, проведенного через вершину пирамиды и большую диагональ основания. 3. Сечение представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $2a$ и высотой, равной высоте пирамиды $H$. Тогда: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot H = aH$ 4. Боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием $a$ и высотой (апофемой) $h$. Тогда: $S_{гр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ 5. По условию $S_{гр} = S_{сеч}$: $\frac{1}{2}ah = aH \Rightarrow h = 2H$ 6. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, апофемой $h$ и радиусом вписанной в основание окружности $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, по теореме Пифагора: $h^2 = H^2 + r^2$ $(2H)^2 = H^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2$ $4H^2 = H^2 + \frac{3a^2}{4}$ $3H^2 = \frac{3a^2}{4} \Rightarrow H^2 = \frac{a^2}{4} \Rightarrow H = \frac{a}{2}$ 7. Тогда апофема $h = 2H = 2 \cdot \frac{a}{2} = a$. 8. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (6a) \cdot a = 3a^2$ **Ответ:** $3a^2$.