В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB проведена медиана CC1. а) упрости выражение BC1 - AC + AB; б) найди длину этого вектора, если AC=5 см, AB=6 см.

**Ответ: а) $\vec{AC}$; б) 5 см.** **Решение:** а) Упростим векторное выражение: $\vec{BC_1} - \vec{AC} + \vec{AB}$. 1. Так как $CC_1$ — медиана к основанию $AB$ в равнобедренном треугольнике $ABC$, точка $C_1$ является серединой $AB$. Следовательно, $\vec{BC_1} = \frac{1}{2} \vec{BA} = -\frac{1}{2} \vec{AB}$. 2. Подставим это в выражение: $-\frac{1}{2} \vec{AB} - \vec{AC} + \vec{AB} = \frac{1}{2} \vec{AB} - \vec{AC}$. 3. Заметим, что $\frac{1}{2} \vec{AB} = \vec{AC_1}$. Тогда выражение примет вид: $\vec{AC_1} - \vec{AC}$. 4. По правилу вычитания векторов: $\vec{AC_1} - \vec{AC} = \vec{CC_1}$. **Допущение:** В пункте (а) часто требуется упрощение через основные векторы сторон. Если рассматривать выражение $\vec{BC_1} - \vec{AC} + \vec{AB}$: $\vec{BC_1} + \vec{AB} = \vec{BC_1} + 2\vec{C_1B} = \vec{BC_1} - 2\vec{BC_1} = -\vec{BC_1} = \vec{C_1B} = \vec{AC_1}$. Тогда $\vec{AC_1} - \vec{AC} = \vec{CC_1}$. Однако, если перегруппировать: $(\vec{AB} - \vec{AC}) + \vec{BC_1} = \vec{CB} + \vec{BC_1} = \vec{CC_1}$. б) Найдем длину полученного вектора $\vec{CC_1}$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$: 1. $AC = 5$ см (гипотенуза). 2. $AC_1 = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см (катет). 3. По теореме Пифагора: $CC_1^2 = AC^2 - AC_1^2$ $CC_1^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$ $CC_1 = \sqrt{16} = 4$ см. **Примечание:** Если в условии пункта (а) была опечатка и требовалось упростить $\vec{BC} - \dots$ или иное, результат может измениться. Исходя из текста $\vec{BC_1} - \vec{AC} + \vec{AB}$, ответом является вектор медианы, длина которой 4 см.