Исследовать функцию по плану и построить график y = x^4 - 2x^3

**Ответ:** Исследуем функцию $y = x^4 - 2x^3$: 1) **Область определения:** Так как это многочлен, функция определена для любого $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$ 2) **Экстремумы и монотонность:** Найдем производную: $y' = 4x^3 - 6x^2 = 2x^2(2x - 3)$. Приравняем к нулю: $2x^2(2x - 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 1,5$. - На интервале $(-\infty; 0)$ $y' < 0$ (функция убывает); - На интервале $(0; 1,5)$ $y' < 0$ (функция убывает); - На интервале $(1,5; +\infty)$ $y' > 0$ (функция возрастает). Точка минимума: $x = 1,5$. Значение $y(1,5) = (1,5)^4 - 2 \cdot (1,5)^3 = 5,0625 - 6,75 = -1,6875$. 3) **Перегибы и выпуклость:** Найдем вторую производную: $y'' = 12x^2 - 12x = 12x(x - 1)$. Приравняем к нулю: $12x(x - 1) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 1$. - $(-\infty; 0): y'' > 0$ (выпуклость вниз $\cup$); - $(0; 1): y'' < 0$ (выпуклость вверх $\cap$); - $(1; +\infty): y'' > 0$ (выпуклость вниз $\cup$). Точки перегиба: $(0; 0)$ и $(1; -1)$. 4) **Точки пересечения с осями:** - С осью $Oy$: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0; 0)$. - С осью $Ox$: $x^4 - 2x^3 = 0 \Rightarrow x^3(x - 2) = 0$. Точки $(0; 0)$ и $(2; 0)$. 5) **Дополнительные точки:** $y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^3 = 1 + 2 = 3$ $y(2,5) = (2,5)^4 - 2(2,5)^3 \approx 7,81$ 6) **График:** :::div .chart-container @chart-1:::