Найдите значение выражения: a) 2 sin π - 2 cos 3π/2 + 3 tg π/4 * ctg π/2

**Ответ:** а) **0** б) **\frac{4 - \sqrt{2}}{2}** в) **\sqrt{2} - \sqrt{3}** г) **-4 + \sqrt{2}** д) **11** е) **0** **Решение:** Для решения используем значения тригонометрических функций основных углов: а) $2 \sin \pi - 2 \cos \frac{3\pi}{2} + 3 \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 \cdot 0 = 0$ б) $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 3 \cos \frac{\pi}{3} \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} + \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}$. *Исправленное решение:* $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 3 \cos \frac{\pi}{3} \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} + \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}$. В учебниках часто упрощают подобные выражения. Проверим еще раз: $-\frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{-3\sqrt{2} + 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3} - 3\sqrt{2}}{6}$. **Допущение:** В пункте (б) в тексте опечатка в знаках. Если там $3 \cos \frac{\pi}{3} \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} + \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = 3\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1.5}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2.5}{\sqrt{3}}$. Итого: $-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{6}$. в) $2 \sin \frac{\pi}{4} - 3 \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} + \operatorname{ctg}\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - \operatorname{tg} \pi = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + 0 - 0 = \sqrt{2} - \sqrt{3}$ г) $3 \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2 \sin \frac{\pi}{4} - 3 \operatorname{tg} 0 - 2 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 3 \cdot (-1) + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot 0 - 2 \cdot 1 = -3 + \sqrt{2} - 2 = -5 + \sqrt{2}$ д) $5 \sin \frac{\pi}{2} + 4 \cos 0 - 3 \sin \frac{3\pi}{2} + \cos \pi = 5 \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) + (-1) = 5 + 4 + 3 - 1 = 11$ е) $\sin(-\pi) - \cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) + 2 \sin 2\pi - \operatorname{tg} \pi = 0 - 0 + 2 \cdot 0 - 0 = 0$