1. Вычислите определённый интеграл; 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x², y=x⁻¹, y=e.

1. Вычислите определённый интеграл: а) $\int_{1}^{3} (x^2 - \frac{1}{x^2}) dx$ Найдём первообразную: $F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{x}$ Применим формулу Ньютона-Лейбница: $(\frac{3^3}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{1^3}{3} + \frac{1}{1}) = (9 + \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} + 1) = 9 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - 1 = 8$ **Ответ: 8** б) $\int_{\pi/6}^{\pi/2} 21 \cos(3x - \frac{\pi}{6}) dx$ Найдём первообразную: $F(x) = 21 \cdot \frac{1}{3} \sin(3x - \frac{\pi}{6}) = 7 \sin(3x - \frac{\pi}{6})$ Вычисляем значения: $7 \sin(3 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) = 7 \sin(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) = 7 \sin(\frac{9\pi - \pi}{6}) = 7 \sin(\frac{4\pi}{3}) = 7 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{7\sqrt{3}}{2}$ $7 \sin(3 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) = 7 \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) = 7 \sin(\frac{\pi}{3}) = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$ Разность: $-\frac{7\sqrt{3}}{2} - \frac{7\sqrt{3}}{2} = -7\sqrt{3}$ **Ответ: -7\sqrt{3}** в) $\int_{2}^{4} e^{0,5x - 3} dx$ Найдём первообразную: $F(x) = \frac{1}{0,5} e^{0,5x - 3} = 2e^{0,5x - 3}$ Вычисляем: $2e^{0,5 \cdot 4 - 3} - 2e^{0,5 \cdot 2 - 3} = 2e^{2 - 3} - 2e^{1 - 3} = 2e^{-1} - 2e^{-2}$ **Ответ: 2e^{-1} - 2e^{-2}** г) $\int_{1}^{8} (x^{2/3} + 1) dx$ Найдём первообразную: $F(x) = \frac{x^{5/3}}{5/3} + x = \frac{3}{5}x^{5/3} + x$ Вычисляем: $(\frac{3}{5} \cdot 8^{5/3} + 8) - (\frac{3}{5} \cdot 1^{5/3} + 1) = (\frac{3}{5} \cdot 32 + 8) - (\frac{3}{5} + 1) = (\frac{96}{5} + \frac{40}{5}) - \frac{8}{5} = \frac{136 - 8}{5} = \frac{128}{5} = 25,6$ **Ответ: 25,6** 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2, y = x^{-1}, y = e$. Фигура ограничена сверху прямой $y = e$, снизу кривыми $y = x^2$ и $y = \frac{1}{x}$. Найдем точки пересечения: $x^2 = \frac{1}{x} \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$ (нижняя точка пересечения кривых). $x^2 = e \Rightarrow x = \sqrt{e}$ (правая граница). $\frac{1}{x} = e \Rightarrow x = \frac{1}{e}$ (левая граница). Площадь $S = \int_{1/e}^{1} (e - \frac{1}{x}) dx + \int_{1}^{\sqrt{e}} (e - x^2) dx$ $S_1 = [ex - \ln|x|]_{1/e}^{1} = (e \cdot 1 - \ln 1) - (e \cdot \frac{1}{e} - \ln \frac{1}{e}) = (e - 0) - (1 - (-1)) = e - 2$ $S_2 = [ex - \frac{x^3}{3}]_{1}^{\sqrt{e}} = (e\sqrt{e} - \frac{(\sqrt{e})^3}{3}) - (e - \frac{1}{3}) = e\sqrt{e} - \frac{e\sqrt{e}}{3} - e + \frac{1}{3} = \frac{2e\sqrt{e}}{3} - e + \frac{1}{3}$ $S = e - 2 + \frac{2e\sqrt{e}}{3} - e + \frac{1}{3} = \frac{2e\sqrt{e}}{3} - \frac{5}{3} = \frac{2e\sqrt{e} - 5}{3}$ **Ответ: \frac{2e\sqrt{e} - 5}{3}**