В треугольнике ABC AC = 12 см, ∠A = 75°, ∠C = 60°. Найдите AB и S_ABC.

**Ответ: AB = 6\sqrt{6} см; S_{ABC} = 18(3 + \sqrt{3}) см²** **Решение:** 1. Найдём величину третьего угла $\angle B$: $\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (75^\circ + 60^\circ) = 45^\circ$ 2. По теореме синусов найдем сторону $AB$: $\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$ $AB = \frac{AC \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{6}$ см 3. Найдём площадь треугольника $S_{ABC}$ через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin A$ Нужно значение $\sin 75^\circ$. Используем формулу синуса суммы $\sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 3 \cdot 6\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{18(6 + \sqrt{12})}{4} = \frac{18(6 + 2\sqrt{3})}{4} = 9(3 + \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{1} = 18(3 + \sqrt{3})$ см²