Прямые MN и PK пересекаются в точке E. EC - биссектриса угла MER. ∠SEK = 137°. Найдите величину угла KEM.

**Ответ: $\angle KEM = 86^\circ$** **Решение:** 1. Так как $EC$ — биссектриса угла $\angle MER$, то по определению биссектрисы: $\angle MEC = \angle CER = \frac{1}{2} \angle MER$ 2. Нам известен угол $\angle SEK = 137^\circ$. Заметим, что углы $\angle SEK$ и $\angle KEM$ являются смежными, так как $MN$ — прямая. Сумма смежных углов равна $180^\circ$: $\angle KEM = 180^\circ - \angle SEK = 180^\circ - 137^\circ = 43^\circ$ 3. Углы $\angle KEM$ и $\angle NER$ являются вертикальными (образованы при пересечении прямых $MN$ и $PK$), значит они равны: $\angle NER = \angle KEM = 43^\circ$ 4. Теперь рассмотрим угол $\angle SER$. Он состоит из двух углов: $\angle SEK$ и $\angle KER$. Однако проще заметить, что $\angle MER$ и $\angle NER$ также смежные: $\angle MER = 180^\circ - \angle NER = 180^\circ - 43^\circ = 137^\circ$ 5. Так как $EC$ — биссектриса $\angle MER$, найдем угол $\angle MEC$: $\angle MEC = 137^\circ : 2 = 68,5^\circ$ **Допущение:** В условии задачи $4^*$ на картинке есть пометка от руки «137» и дуга. Если допустить, что $\angle SEK = 137^\circ$, как указано в тексте, то решение выше верно. Если же в вопросе опечатка и нужно найти $\angle KEM$, зная другие данные, то исходя из текста: 1. Найдём $\angle CER$. Углы $\angle SEK$ и $\angle CER$ не связаны напрямую, но мы знаем, что $\angle SEK$ и $\angle KEM$ смежные. 2. $\angle KEM = 180^\circ - 137^\circ = 43^\circ$. Если под «величиной угла КЕМ» подразумевается конечный ответ из стандартной школьной задачи при таких данных, то ответ $43^\circ$.