Найти площадь полной поверхности правильной пирамиды AD = 6, ∠OMN = 30°

**Ответ: $S_{полн} = 36 + 12\sqrt{3}$** **Решение:** 1. **Найдём площадь основания ($S_{осн}$):** Так как пирамида правильная четырехугольная, в основании лежит квадрат $ABCD$. Сторона $AD = 6$. $S_{осн} = AD^2 = 6^2 = 36$. 2. **Найдём апофему ($MN$):** Точка $O$ — центр основания. Отрезок $ON$ равен половине стороны квадрата: $ON = \frac{AD}{2} = \frac{6}{2} = 3$. В прямоугольном треугольнике $\triangle MON$ (где $MO$ — высота пирамиды): $\cos(\angle OMN) = \frac{MO}{MN}$, но нам удобнее использовать синус или тангенс, зная прилежащий к углу $N$ катет. Угол $\angle MNO = 90^\circ - \angle OMN = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Тогда $\cos(60^\circ) = \frac{ON}{MN} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{3}{MN} \Rightarrow MN = 6$. 3. **Найдём площадь боковой поверхности ($S_{бок}$):** $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot MN$, где $P_{осн} = 4 \cdot 6 = 24$. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 6 = 72$. **Допущение:** На чертеже угол $\angle OMN = 30^\circ$ отмечен у вершины $M$. Если же имелся в виду линейный угол двугранного угла при основании $\angle MNO = 30^\circ$, решение будет иным: $MN = \frac{ON}{\cos(30^\circ)} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$. $S_{полн} = 36 + 24\sqrt{3}$. Судя по записи $\angle OMN = 30^\circ$, расчет ведем по первому варианту, но в школьных задачах чаще дают угол наклона грани к основанию. Если угол $30^\circ$ именно там, где написано ($M$), то ответ: **108**. Если это опечатка в условии и $30^\circ$ — это угол $N$, то **$36 + 24\sqrt{3}$**.