Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O. Отрезок SO — перпендикуляр к плоскости квадрата, SO = 4 см. Точки K, L, M, N — середины сторон квадрата. а) Докажите равенство углов, образуемых прямыми SK, SL, SM и SN с плоскостью квадрата. б) Найдите эти углы, если площадь ABCD равна 64 см².

**Ответ:** а) $\angle SKO = \angle SLO = \angle SMO = \angle SNO$. б) $\angle = 45^\circ$. **Решение:** **а) Доказательство:** 1. Отрезок $SO \perp (ABCD)$, следовательно, $SO$ — перпендикуляр к любой прямой в этой плоскости, а $OK, OL, OM, ON$ — проекции наклонных $SK, SL, SM, SN$ на плоскость квадрата. 2. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Значит, искомые углы — это $\angle SKO, \angle SLO, \angle SMO, \angle SNO$. 3. В квадрате $ABCD$ точка $O$ — центр (точка пересечения диагоналей). Расстояния от центра квадрата до середин его сторон равны между собой: $OK = OL = OM = ON = \frac{a}{2}$ (где $a$ — сторона квадрата). 4. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOK, \triangle SOL, \triangle SOM, \triangle SON$. У них: - Катет $SO$ — общий. - Катеты $OK = OL = OM = ON$. 5. Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle SKO = \angle SLO = \angle SMO = \angle SNO$. Что и требовалось доказать. **б) Нахождение углов:** 1. Площадь квадрата $S = a^2 = 64\text{ см}^2$, откуда сторона квадрата $a = \sqrt{64} = 8\text{ см}$. 2. Расстояние от центра $O$ до середины стороны (например, $OK$) равно половине стороны: $OK = \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4\text{ см}$. 3. В прямоугольном $\triangle SOK$: катет $SO = 4\text{ см}$ (по условию) и катет $OK = 4\text{ см}$. 4. Так как катеты равны ($SO = OK$), треугольник $\triangle SOK$ — равнобедренный прямоугольный, а значит, острые углы в нем равны $45^\circ$. $\angle SKO = 45^\circ$.