1. Периметр равностороннего треугольника равен 30. Найдите его площадь, деленную на √3.

1. **Ответ: 25** 1) Найдем сторону равностороннего треугольника: $a = 30 / 3 = 10$. 2) Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$. 3) Найдем площадь, деленную на $\sqrt{3}$: $\frac{25\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 25$. 2. **Ответ: 0,8** Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. По клеткам: Противолежащий катет = 4 клетки. Прилежащий катет = 5 клеток. $\text{tg } \alpha = \frac{4}{5} = 0,8$. 3. **Ответ: 10** Используем теорему Пифагора. Построим прямоугольный треугольник, где $AB$ — гипотенуза: Горизонтальный катет (между точками по оси X) = 6 клеток. Вертикальный катет (между точками по оси Y) = 8 клеток. $AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$. 4. **Ответ: 30** 1) Зная тангенс угла $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}$, найдем синус угла через основное тригонометрическое тождество. Сначала найдем косинус: $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \Rightarrow 1 + \frac{2}{16} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \Rightarrow \frac{18}{16} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$. Тогда $\sin^2 \alpha = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$, значит $\sin \alpha = \frac{1}{3}$. 2) Площадь параллелограмма: $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha = 12 \cdot 5 \cdot \frac{1}{3} = 20$. **Допущение:** В условии тангенс дан как $\frac{\sqrt{2}}{4}$, расчет произведен строго по этим данным. 5. **Ответ: 25** Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25$. 6. **Ответ: 100** Площадь квадрата: $S = a^2 = 10^2 = 100$.