1. Основанием правильной четырехугольной призмы служит квадрат, диагональ которого равна d. Через диагональ основания и противолежащую вершину верхнего основания проведена плоскость под углом 45 градусов к нему. Объем призмы равен ...

Давай решим эти геометрические задачи по порядку. Поскольку в некоторых заданиях требуется только найти значение (пропуски в тексте), я дам краткие ответы и поясню ход решения. 1. **Ответ: $\frac{d^3}{4}$** Пусть $a$ — сторона квадрата в основании. Диагональ основания $d = a\sqrt{2}$, значит $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$. Площадь основания $S_{осн} = a^2 = \frac{d^2}{2}$. Угол между плоскостью сечения и основанием равен $45^\circ$. Высота призмы $H$ равна половине диагонали основания (так как сечение проходит через диагональ и вершину над центром основания), $H = \frac{d}{2} \cdot \tan(45^\circ) = \frac{d}{2}$. Объём $V = S_{осн} \cdot H = \frac{d^2}{2} \cdot \frac{d}{2} = \frac{d^3}{4}$. 2. **Ответ: 2400** Площадь перпендикулярного сечения призмы $S_{\perp} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 \cdot \sin(90^\circ) = 600$ (так как угол между гранями прямой). Объём наклонной призмы $V = S_{\perp} \cdot l$, где $l$ — боковое ребро. $V = 600 \cdot 10 = 6000$. *Примечание:* Если 30 и 40 — это высоты граней (перпендикуляры), то решение выше. Если это площади граней $S_1$ и $S_2$, то $V = \frac{S_1 \cdot S_2 \cdot \sin(\alpha)}{l} = \frac{30 \cdot 40 \cdot 1}{10} \cdot 2 = 240$. Скорее всего, 30 и 40 — стороны перпендикулярного сечения. Уточним: если грани перпендикулярны, $V = \frac{30 \cdot 40}{10} \cdot \frac{1}{2} \cdot 10$ — недостаточно данных о типе сторон. **Допущение:** 30 и 40 — стороны перпендикулярного сечения. Тогда $V = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 \cdot 10 \cdot \sin(90^\circ) = 6000$. 3. **Ответ: $\frac{V}{24}$** Площадь основания пирамиды в 4 раза меньше площади основания призмы ($S_{пир} = \frac{1}{4} S_{осн}$). Высота пирамиды составляет $\frac{1}{2}$ высоты призмы. Объём пирамиды $V_{пир} = \frac{1}{3} S_{пир} \cdot H_{пир} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} S_{осн} \cdot \frac{1}{2} H = \frac{1}{24} V_{призмы}$. 4. **Ответ: 1** Площадь основания $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$. Гипотенуза равна 5. Радиус вписанной окружности $r = \frac{3+4-5}{2} = 1$. Высота пирамиды $H = r \cdot \tan(45^\circ) = 1$. Объём $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 1 = 2$. 5. **Ответ: $\frac{S \cdot d}{3}$** Боковая поверхность $S = 4 \cdot \frac{1}{2} a \cdot h = 2ah$, где $h$ — апофема. Расстояние от центра до грани $d$ — это высота в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r = a/2$ и апофемой $h$. По формуле объема через площадь поверхности и расстояние до граней: $V = \frac{1}{3} S_{бок} \cdot d$ (для боковых). 6. **Ответ: $\frac{19}{27}V$** Верхняя отсеченная пирамида имеет объем $(\frac{2}{3})^3 V = \frac{8}{27} V$. Часть между плоскостями (средний слой) — это разность объемов пирамид с коэффициентами подобия $2/3$ и $1/3$: $(\frac{8}{27} - \frac{1}{27})V = \frac{7}{27}V$. 7. **Ответ: 15** Радиус сечения конуса на середине высоты $r = \frac{1}{2} R$, площадь $S_{цил} = \frac{1}{4} S_{осн}$. Высота цилиндра $h = \frac{1}{2} H$. $V_{кон} = \frac{1}{3} S H = 40 \Rightarrow SH = 120$. $V_{цил} = \frac{1}{4} S \cdot \frac{1}{2} H = \frac{1}{8} SH = \frac{120}{8} = 15$. 8. **Ответ: $\frac{1000}{3}$** Радиус описанной окружности $R = \frac{a}{2\sin(30^\circ)} = \frac{10}{1} = 10$. Так как ребра наклонены под $45^\circ$, высота конуса $H = R = 10$. Объём описанного конуса $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 100 \cdot 10 = \frac{1000\pi}{3}$. 9. **Ответ: $4\pi$** Радиус вписанного шара равен радиусу вписанной в основание окружности $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$. Объем шара $V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi$.