Точка А находится на расстоянии 3√3 см от плоскости α. Наклонные АВ и АС образуют с плоскостью углы 60° и 45° соответственно, а угол между наклонными равен 90°. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

**Ответ: 3√5 см (или ≈ 6,7 см)** **Решение:** 1. Пусть $H$ — проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда $AH$ — перпендикуляр к плоскости, $AH = 3\sqrt{3}$ см. 2. В прямоугольном $\triangle ABH$ (угол $\angle ABH = 60^\circ$): $BH = \frac{AH}{\text{tg}(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$ см. 3. В прямоугольном $\triangle ACH$ (угол $\angle ACH = 45^\circ$): $CH = AH = 3\sqrt{3}$ см (так как треугольник равнобедренный). 4. Расстояние между основаниями наклонных — это отрезок $BC$. Рассмотрим $\triangle BHC$. По условию угол между наклонными $\angle BAC = 90^\circ$. Найдем длины наклонных: $AB = \frac{AH}{\sin(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6$ см; $AC = \frac{AH}{\sin(45^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{6}$ см. 5. В $\triangle ABC$ по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + (3\sqrt{6})^2} = \sqrt{36 + 54} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$ см. **Допущение:** В условии сказано, что угол между наклонными $90^\circ$. Обычно это подразумевает угол $BAC$. Однако, если имеется в виду угол между их проекциями ($BHC$), то расчет будет другим. Исходя из стандартных школьных задач, находим расстояние через гипотенузу треугольника $ABC$. Если считать через проекции (угол $BHC = 90^\circ$): $BC = \sqrt{BH^2 + CH^2} = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$ см. Наиболее вероятно, что в задаче угол $90^\circ$ — это именно угол между наклонными $AB$ и $AC$.