Через вершину A прямоугольника ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр AK. Точка K удалена от стороны BC на 15 см. Найдите расстояние от точки K до стороны CD, если BD = √337 см, AK = 12 см.

3. **Ответ: 20 см** 1) Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Расстояние от точки $K$ до прямой $BC$ — это наклонная $KB$ (так как $AB \perp BC$ по условию прямоугольника и $AK \perp (ABC)$, то по теореме о трех перпендикулярах $KB \perp BC$). По теореме Пифагора из $\triangle KAB$: $AB = \sqrt{KB^2 - AK^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ (см). 2) Из прямоугольного $\triangle ABD$ найдем сторону $AD$: $AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{(\sqrt{337})^2 - 9^2} = \sqrt{337 - 81} = \sqrt{256} = 16$ (см). 3) Расстояние от точки $K$ до стороны $CD$ — это наклонная $KD$ (так как $AD \perp CD$, то по теореме о трех перпендикулярах $KD \perp CD$). Из $\triangle KAD$ по теореме Пифагора: $KD = \sqrt{AK^2 + AD^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ (см). 4. **Ответ: 14 см** 1) Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный ($AB=BC=39$, высота $BH=36$). Найдем основание $AC$: В $\triangle ABH$ по теореме Пифагора: $AH = \sqrt{39^2 - 36^2} = \sqrt{(39-36)(39+36)} = \sqrt{3 \cdot 75} = \sqrt{225} = 15$ (см). Тогда $AC = 2 \cdot AH = 30$ (см). 2) Найдем радиус вписанной окружности $r$ этого треугольника. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 36 = 540$ (см$^2$). Полупериметр $p = \frac{39 + 39 + 30}{2} = 54$ (см). $r = \frac{S}{p} = \frac{540}{54} = 10$ (см). 3) Так как точка $D$ равноудалена от сторон треугольника, её проекция на плоскость (точка $O$) является центром вписанной окружности. Расстояние от $D$ до сторон треугольника — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами $r$ (радиус) и $h$ (расстояние до плоскости). $L = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{10^2 + (4\sqrt{6})^2} = \sqrt{100 + 16 \cdot 6} = \sqrt{100 + 96} = \sqrt{196} = 14$ (см).