Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что треугольник AMD равносторонний. Найдите угол AMB.

**Ответ: 30°** **Решение:** 1. Так как $ABCD$ — квадрат, то все его стороны равны ($AB = BC = CD = DA$) и все углы равны $90^\circ$. 2. Треугольник $AMD$ — равносторонний по условию, значит, все его стороны равны ($AM = MD = AD$) и все его углы равны $60^\circ$: $\angle MAD = \angle AMD = \angle MDA = 60^\circ$. 3. Рассмотрим треугольник $ABM$. Его сторона $AM$ равна стороне квадрата $AD$ (так как $AM = AD$ из равностороннего треугольника), а сторона $AB$ также равна $AD$. Следовательно, $AB = AM$, и треугольник $ABM$ — равнобедренный. 4. Найдем угол при вершине этого треугольника: $\angle BAM = \angle BAD - \angle MAD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. 5. Так как треугольник $ABM$ равнобедренный ($AB = AM$), углы при его основании $BM$ равны: $\angle ABM = \angle AMB = (180^\circ - \angle BAM) : 2 = (180^\circ - 30^\circ) : 2 = 150^\circ : 2 = 75^\circ$. 6. Аналогично в треугольнике $DMC$: он также равнобедренный ($DM = DC$), угол $\angle MDC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$, а углы при основании $\angle DMC = \angle DCM = 75^\circ$. 7. Угол $\angle AMB$ мы уже нашли в пункте 5.