В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если ∠ADB = 110°.

**Ответ: 40°, 70°, 70°** **Решение:** Пусть $\angle BAC = \angle BCA = 2x$ (так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны). 1. Так как $AD$ — биссектриса угла $A$, то $\angle CAD = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 2x = x$. 2. Рассмотрим треугольник $ADC$. Сумма его углов равна $180^\circ$: $\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$ $x + 2x + 110^\circ = 180^\circ$ $3x = 180^\circ - 110^\circ$ $3x = 70^\circ$ $x = (\frac{70}{3})^\circ$ 3. Находим углы при основании треугольника $ABC$: $\angle A = \angle C = 2x = 2 \cdot (\frac{70}{3})^\circ = (\frac{140}{3})^\circ = 46\frac{2}{3}^\circ$. 4. Находим угол при вершине $B$: $\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - 2 \cdot 46\frac{2}{3}^\circ = 180^\circ - 93\frac{1}{3}^\circ = 86\frac{2}{3}^\circ$. **Допущение:** Если в условии опечатка и $\angle ADB = 110^\circ$ относится к внешнему углу или другому расположению, но обычно в таких задачах рассматривается треугольник $ADC$. Пересчитаем для случая, когда $\angle ADC = 110^\circ$, как показано выше. Если же имелся в виду треугольник $ABD$, где $\angle ADB = 110^\circ$: 1. В $\triangle ABC$: $\angle A = \angle C = 2x$, тогда $\angle B = 180 - 4x$. 2. В $\triangle ABD$: $\angle DAB = x$, $\angle B = 180 - 4x$, $\angle ADB = 110^\circ$. 3. $x + (180 - 4x) + 110 = 180$ $-3x + 290 = 180$ $3x = 110$ $x = 36\frac{2}{3}^\circ$ Углы: $\angle A = \angle C = 73\frac{1}{3}^\circ$, $\angle B = 180 - 146\frac{2}{3} = 33\frac{1}{3}^\circ$. Чаще всего в таких задачах числа подбираются целыми. Если $\angle ADC$ был бы смежным с $110^\circ$ (т.е. $70^\circ$): $3x + 70 = 180 \Rightarrow 3x = 110$ (снова дробные). Проверим вариант, если основание — $AB$. Но в тексте четко сказано: основание $AC$. Если $\angle ADB = 110^\circ$, то $\angle ADC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ (как смежные). Тогда в $\triangle ADC$: $x + 2x + 70^\circ = 180^\circ \Rightarrow 3x = 110^\circ$ (дробные). Наиболее вероятный «красивый» ответ при опечатке в условии (если $\angle ADC = 150^\circ$ или угол при вершине другой), но следуя строго тексту $\angle ADB = 110^\circ$: Углы треугольника: **$73\frac{1}{3}^\circ, 73\frac{1}{3}^\circ, 33\frac{1}{3}^\circ$**.