Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны BC. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

**Ответ: Треугольник ABC является прямоугольным (угол A = 90°).** **Доказательство:** 1. По условию $AM$ — медиана, значит, точка $M$ делит сторону $BC$ пополам: $BM = MC = \frac{1}{2} BC$. 2. Также дано, что медиана $AM$ равна половине стороны $BC$: $AM = \frac{1}{2} BC$. 3. Следовательно, $AM = BM = MC$. 4. Рассмотрим полученные треугольники: - В $\triangle ABM$ стороны $AM = BM$, значит он равнобедренный. Углы при основании равны: $\angle MAB = \angle MBA = \alpha$. - В $\triangle ACM$ стороны $AM = MC$, значит он тоже равнобедренный. Углы при основании равны: $\angle MAC = \angle MCA = \beta$. 5. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^{\circ}$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ $(\alpha + \beta) + \alpha + \beta = 180^{\circ}$ $2\alpha + 2\beta = 180^{\circ}$ $2(\alpha + \beta) = 180^{\circ}$ $\alpha + \beta = 90^{\circ}$ 6. Так как $\angle A = \alpha + \beta = 90^{\circ}$, то треугольник $ABC$ — прямоугольный. Что и требовалось доказать.