Через точку O пересечения диагоналей квадрата ABCD проведён отрезок OK, перпендикулярный его плоскости. Известно, что AB = 6 см, OK = 4 см. Найдите расстояние от точки K до вершин квадрата (KB, KD и т.д.).

**Ответ: $3\sqrt{6}$ см (или примерно 7,35 см).** **Решение:** 1. Найдём диагональ квадрата $ABCD$ со стороной $AB = 6$ см по формуле $d = a\sqrt{2}$: $AC = BD = 6\sqrt{2}$ см. 2. Точка $O$ — точка пересечения диагоналей, она делит их пополам: $AO = BO = CO = DO = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см. 3. Так как отрезок $OK$ перпендикулярен плоскости квадрата, то он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$. Значит, треугольник $KOB$ — прямоугольный ($\\angle KOB = 90^\circ$). 4. По теореме Пифагора из $\triangle KOB$ найдём гипотенузу $KB$ (расстояние от $K$ до вершин): $KB^2 = OK^2 + BO^2$ $KB^2 = 4^2 + (3\sqrt{2})^2 = 16 + 18 = 34$ $KB = \sqrt{34}$ см. **Допущение:** В тексте задания может быть опечатка в исходных данных или стандартных задачах часто получается целое число, но при текущих числах ($AB=6, OK=4$) результат $\sqrt{34}$. Если же сторона была бы такой, что $BO=3$, то ответ был бы 5. Проверим расчет еще раз: $BO$ это половина диагонали $6\sqrt{2}/2 = 3\sqrt{2}$. $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$. $16 + 18 = 34$. Все верно. Расстояния до всех вершин квадрата равны, так как $O$ — центр квадрата: $KA = KB = KC = KD = \sqrt{34} \approx 5,83$ см.