В правильной четырехугольной призме боковое ребро равно 3 см, а расстояние от вершины верхнего основания до середины противоположной стороны нижнего основания равно 6 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

**Ответ: в) $14,4\sqrt{15}$ см²;** **Решение:** 1. Пусть $h$ — высота призмы (боковое ребро), $h = 3$ см. Основание призмы — квадрат со стороной $a$. 2. Расстояние от вершины верхнего основания до середины противоположной стороны нижнего основания является гипотенузой $L = 6$ см в прямоугольном треугольнике. 3. Один катет этого треугольника — высота призмы $h = 3$ см. Второй катет $d$ лежит в плоскости основания и соединяет вершину квадрата с серединой противоположной стороны. По теореме Пифагора: $d^2 = L^2 - h^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27$. 4. В квадрате со стороной $a$ расстояние от вершины до середины противоположной стороны находится из прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $\frac{a}{2}$: $d^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$. 5. Приравняем значения $d^2$: $\frac{5a^2}{4} = 27 \Rightarrow a^2 = \frac{108}{5} = 21,6$. Отсюда сторона основания $a = \sqrt{21,6} = \sqrt{\frac{108}{5}} = \sqrt{\frac{36 \cdot 3}{5}} = 6\sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{6\sqrt{15}}{5} = 1,2\sqrt{15}$ см. 6. Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$ $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4a \cdot h = 4 \cdot 1,2\sqrt{15} \cdot 3 = 14,4\sqrt{15}$ см². $S_{осн} = a^2 = 21,6$ см². $S_{полн} = 14,4\sqrt{15} + 2 \cdot 21,6 = 14,4\sqrt{15} + 43,2$ см². В варианте **в** указана только боковая поверхность, а в варианте **д** — полная. Поскольку вопрос просит полную поверхность, правильный ответ — **д**. **Ответ: д) $(14,4\sqrt{15} + 43,2)$ см²**