Через вершину B квадрата ABCD проведена прямая BM. Известно, что ∠MBA = ∠MBC = 90°, MB = m, AB = n. Найдите расстояния от точки M до: а) вершин квадрата; б) прямых AC и BD.

**Ответ: а) $\sqrt{m^2+n^2}$ и $m$; б) $\sqrt{m^2+\frac{n^2}{2}}$ и $m$** **Решение:** Так как $\angle MBA = \angle MBC = 90^{\circ}$, то прямая $MB$ перпендикулярна прямым $BA$ и $BC$. Поскольку эти прямые лежат в плоскости квадрата $ABCD$ и пересекаются, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $MB \perp (ABC)$. Следовательно, отрезок $MB$ является перпендикуляром к плоскости квадрата, а его длина $m$ — это расстояние от точки $M$ до плоскости. **а) Расстояния до вершин квадрата:** 1. До вершины $B$: расстояние равно $MB = m$. 2. До вершины $A$: так как $MB \perp AB$, из $\triangle MBA$: $MA = \sqrt{MB^2 + AB^2} = \sqrt{m^2 + n^2}$. 3. До вершины $C$: так как $MB \perp BC$, из $\triangle MBC$: $MC = \sqrt{MB^2 + BC^2} = \sqrt{m^2 + n^2}$ (стороны квадрата $AB=BC=n$). 4. До вершины $D$: по теореме о трех перпендикулярах или из прямоугольного $\triangle MBD$ (где $BD = n\sqrt{2}$ — диагональ): $MD = \sqrt{MB^2 + BD^2} = \sqrt{m^2 + (n\sqrt{2})^2} = \sqrt{m^2 + 2n^2}$. **б) Расстояния до прямых $AC$ и $BD$:** 1. До прямой $BD$: так как $MB \perp (ABC)$, а точка $B$ лежит на прямой $BD$, то перпендикуляром из $M$ к прямой $BD$ является сам отрезок $MB$. Расстояние равно $m$. 2. До прямой $AC$: пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата. $BO \perp AC$ (свойство диагоналей). По теореме о трех перпендикулярах $MO \perp AC$, значит $MO$ — искомое расстояние. В $\triangle MBO$ ($\angle B = 90^{\circ}$): $BO = \frac{1}{2}BD = \frac{n\sqrt{2}}{2} = \frac{n}{\sqrt{2}}$ $MO = \sqrt{MB^2 + BO^2} = \sqrt{m^2 + (\frac{n}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{m^2 + \frac{n^2}{2}}$.