Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6√3, двугранный угол при ребре основания равен 60°. Найдите объем пирамиды

**Ответ: 108** **Решение:** 1. Найдём площадь основания $S_{осн}$. Так как пирамида правильная четырёхугольная, в основании лежит квадрат со стороной $a = 6\sqrt{3}$. $S_{осн} = a^2 = (6\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$ 2. Найдём высоту пирамиды $H$. Двугранный угол при ребре основания — это угол между апофемой боковой грани и проекцией апофемы на основание. В правильной пирамиде этот угол ($̑ = 60^\circ$) образует прямоугольный треугольник, где один катет — это высота $H$, а второй катет — расстояние от центра основания до ребра, равное половине стороны основания ($r = \frac{a}{2}$). $r = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ Из соотношения в прямоугольном треугольнике: $H = r \cdot \tan(60^\circ)$ $H = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$ 3. Вычислим объём пирамиды $V$: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 108 \cdot 9 = 108 \cdot 3 = 324$ **Допущение:** В тексте на фото числовое значение стороны основания $6\sqrt{3}$ при расчёте объёма даёт $324$, если же в условии подразумевалось иное (плохо видно индекс), результат изменится пропорционально. При $a = 6\sqrt{3}$ и $̑ = 60^\circ$, ответ $324$.