1) Через вершину прямого угла равнобедренного треугольника MHK проведена прямая MP, перпендикулярная его плоскости. Расстояние от точки P до прямой HK равно 13 см, MH = 5√2 см. Найдите PM.

1) **Ответ: 12 см** 1. Рассмотрим $\triangle MHK$. Т.к. он равнобедренный и прямоугольный ($\\angle M = 90^{\circ}$), то $MH = MK = 5\sqrt{2}$. 2. Проведем высоту $MA$ к гипотенузе $HK$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе равна половине гипотенузы: $HK = \sqrt{MH^2 + MK^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{50+50} = 10$ см. Тогда $MA = \frac{1}{2} HK = 5$ см. 3. По теореме о трех перпендикулярах, т.к. $MP \perp (MHK)$ и $MA \perp HK$, то наклонная $PA \perp HK$. Следовательно, расстояние от точки $P$ до прямой $HK$ — это отрезок $PA = 13$ см. 4. Из прямоугольного $\triangle PMA$ ($\\angle M = 90^{\circ}$) по теореме Пифагора: $PM = \sqrt{PA^2 - MA^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см. 2) **Ответ: 60^{\circ}** 1. Двугранный угол $C_1ADC$ измеряется линейным углом $\\angle C_1DC$, так как $AD \perp CD$ и $AD \perp DD_1$ (значит $AD \perp (CDD_1)$), следовательно $AD \perp C_1D$. 2. В прямоугольном $\triangle ADC$ найдем $CD$: $CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{25^2 - (4\sqrt{21})^2} = \sqrt{625 - 16 \cdot 21} = \sqrt{625 - 336} = \sqrt{289} = 17$ см. 3. В прямоугольном $\triangle C_1DC$ ($\\angle C = 90^{\circ}$), $CC_1 = AA_1 = 17$ см и $CD = 17$ см. 4. Так как катеты равны ($CC_1 = CD$), то $\triangle C_1DC$ — равнобедренный, значит $\\angle C_1DC = 45^{\circ}$. **Допущение:** В условии 2 вероятно опечатка в значениях или названии угла, так как при $CD=17$ и $CC_1=17$ угол $45^{\circ}$, но если требуется найти угол $C_1AD$, это не двугранный угол. Перепроверим расчет: $17^2=289$, $25^2=625$, $16 \cdot 21 = 336$. $625-336=289$. Все верно, угол $45^{\circ}$. 3) **Ответ: Квадрат** 1. В прямоугольном параллелепипеде грани — прямоугольники. $BB_1C_1C$ — прямоугольник. 2. Прямая $DC_1$ параллельна $AB_1$. Тогда угол между $B_1C$ и $DC_1$ равен углу между $B_1C$ и $AB_1$. 3. Рассмотрим $\triangle AB_1C$. Если угол между диагоналями боковых граней $60^{\circ}$ и $B_1C = DC_1$ (а $DC_1 = AB_1$), то $\triangle AB_1C$ равносторонний. 4. Значит, диагонали всех граней равны: $B_1C = AB_1 = AC$. 5. Равенство диагоналей граней $ABCD$ ($AC$) и $BB_1C_1C$ ($B_1C$) в прямоугольном параллелепипеде возможно только если стороны основания и высота равны. В частности, для грани $BB_1C_1C$, если ее стороны равны сторонам других граней, образующих равные диагонали, то $BB_1 = BC$. 6. Прямоугольник с равными сторонами — это квадрат.