Основанием прямой треугольной призмы служит треугольник ABC со сторонами AB=BC=7 см., AC=2 см. Через сторону AC проведена плоскость под углом 30 градусов к плоскости основания и пересекающая противолежащее ребро в точке Д. Найдите: площадь полученного сечения; отрезок ВД бокового ребра.

**Ответ: площадь сечения равна $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ см²; отрезок $BD = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.** **Решение:** 1. **Найдем площадь основания ($S_{ABC}$):** Основание — равнобедренный треугольник со сторонами $a=7$, $b=7$, $c=2$. Высота $h$, проведенная к основанию $AC$, по теореме Пифагора: $h = \sqrt{7^2 - 1^2} = \sqrt{49 - 1} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ см. $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см². 2. **Найдем площадь сечения ($S_{сеч}$):** Сечение (треугольник $ADC$) является проекцией на плоскость основания. По теореме о площади проекции многоугольника: $S_{осн} = S_{сеч} \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha = 30^{\circ}$ — угол между плоскостями. $S_{сеч} = \frac{S_{осн}}{\cos(30^{\circ})} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 8$ см². 3. **Найдем отрезок $BD$:** Рассмотрим прямоугольный треугольник $MBD$, где $M$ — середина $AC$. $BM$ — высота основания ($4\sqrt{3}$ см), $BD$ — боковое ребро (или его часть), $\angle BMD = 30^{\circ}$ (линейный угол двугранного угла). Из $\triangle MBD$: $BD = BM \cdot \tan(30^{\circ}) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4$ см. **Допущение:** В расчетах выше исправлена логическая ошибка. Пересчитаем: Если $S_{сеч} = 8$, то $BD$ находится из формулы площади треугольника $ADC$. Его высота $DM = \frac{2 \cdot S_{сеч}}{AC} = \frac{2 \cdot 8}{2} = 8$. Тогда из $\triangle MBD$ ($MB \perp AC$, $DB \perp ABC$): $BD = \sqrt{DM^2 - BM^2} = \sqrt{8^2 - (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 - 48} = \sqrt{16} = 4$ см.