На рисунке 15 MO || NP, OP = 20 см, PK = 8 см, MN = 15 см. Найдите отрезок NK.

**Ответ: 1. NK = 6 см; 2. A₁B₁ = 8 см, AC = 27 см; 3. BC = 35 см; 4. DE = 10 см; 5. BD = 10 см; 6. Длина хорды = 20 см.** **Решение:** 1. Так как $MO \parallel NP$, то треугольники $KNP$ и $KMO$ подобны по двум углам (угол $K$ общий, $\angle KNP = \angle KMO$ как соответственные). Из подобия следует: $\frac{NK}{MK} = ?rac{PK}{OK}$. Пусть $NK = x$. Тогда $MK = MN + NK = 15 + x$. $OK = OP + PK = 20 + 8 = 28$ см. $?rac{x}{15 + x} = ?rac{8}{28} → ?rac{x}{15 + x} = ?rac{2}{7}$ $7x = 30 + 2x → 5x = 30 → x = 6$ см. 2. Треугольники $ABC ∼ A_1B_1C_1$. Отношение соответственных сторон равно: $k = ?rac{AC}{A_1C_1} = ?rac{18}{12} = 1,5$. $A_1B_1 = ?rac{AB}{k} = ?rac{12}{1,5} = 8$ см. $B_1C_1 = 18$ см, значит $BC = B_1C_1 ∙ k = 18 ∙ 1,5 = 27$ см. 3. По свойству биссектрисы угла треугольника: $?rac{AB}{AM} = ?rac{BC}{MC}$. $?rac{30}{12} = ?rac{BC}{14}$ $2,5 = ?rac{BC}{14} → BC = 2,5 ∙ 14 = 35$ см. 4. Так как $DE \parallel AC$, то $ riangle BDE ∼ riangle BAC$ по двум углам. Из условия $AD:BD = 5:3$ следует, что если $BD = 3x$, то $AD = 5x$, а вся сторона $AB = 8x$. Из подобия: $?rac{DE}{AC} = ?rac{BD}{AB} → ?rac{DE}{16} = ?rac{3x}{8x} = ?rac{3}{8}$. $DE = 16 ∙ ?rac{3}{8} = 6$ см. *(Исправление: расчет $DE = 16 ∙ 3 / 8 = 6$)*. **Ответ 4: 6 см.** 5. $ riangle BOC ∼ riangle DOA$ по двум углам (накрест лежащие при параллельных основаниях). $?rac{BC}{AD} = ?rac{BO}{OD} → ?rac{6}{14} = ?rac{3}{7}$. Пусть $OD = x$, тогда $BO = x - 2$. $?rac{x-2}{x} = ?rac{3}{7} → 7x - 14 = 3x → 4x = 14 → x = 3,5$ (см) — это $OD$. $BO = 3,5 - 2 = 1,5$ (см). $BD = 1,5 + 3,5 = 5$ см. 6. По свойству пересекающихся хорд (одна из которых проходит через центр): $PA ∙ AQ = (R-d)(R+d)$, где $d$ — расстояние от точки до центра. Пусть части хорды $2x$ и $3x$. $2x ∙ 3x = (11-5)(11+5)$ $6x^2 = 6 ∙ 16 → x^2 = 16 → x = 4$. Длина хорды: $2x + 3x = 5x = 5 ∙ 4 = 20$ см.