В треугольнике ABC AB < BC < AC. Найдите ∠A, ∠B, ∠C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30°.

**Ответ:** 1. $\angle A = 90^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$, $\angle C = 30^{\circ}$ 2. $\angle B = 25^{\circ}$, $\angle C = 65^{\circ}$ 3. $\angle BCD = 45^{\circ}$, $\angle B = 20^{\circ}$, $\angle BDC = 115^{\circ}$ 4. Стороны могут быть 21 см, 21 см, 8 см или 12 см, 12 см, 25 см (второй вариант невозможен по неравенству треугольника). **Решение:** 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Так как $AB < BC < AC$, то $\angle C < \angle A < \angle B$. Углы треугольника: $90^{\circ}, 30^{\circ}$ и $180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. Расставим их в порядке возрастания: $30^{\circ} < 60^{\circ} < 90^{\circ}$. Следовательно: $\angle C = 30^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$, $\angle A = 90^{\circ}$. 2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^{\circ}$. $x + x + 40^{\circ} = 90^{\circ}$ $2x = 50^{\circ}$ $x = 25^{\circ}$ (это $\angle B$) $\angle C = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ}$. 3. В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$): $\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$. Биссектриса $CD$ делит прямой угол $C$ пополам: $\angle BCD = 90^{\circ} / 2 = 45^{\circ}$. В $\triangle BCD$: $\angle BDC = 180^{\circ} - (\angle B + \angle BCD) = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 45^{\circ}) = 115^{\circ}$. 4. Пусть стороны треугольника $a, a$ (боковые) и $b$ (основание). Случай 1: Боковая сторона на 13 см меньше основания ($a = b - 13$). $2(b - 13) + b = 50 \Rightarrow 3b - 26 = 50 \Rightarrow 3b = 76 \Rightarrow b = 25.33$ (не целое, рассмотрим другой вариант). Случай 2: Основание на 13 см меньше боковой стороны ($b = a - 13$). $2a + (a - 13) = 50 \Rightarrow 3a = 63 \Rightarrow a = 21$. Тогда $b = 21 - 13 = 8$. Стороны: 21, 21, 8 (существует: $21+21 > 8$). Случай 3: Боковая сторона на 13 см больше основания ($a = b + 13$). $2(b + 13) + b = 50 \Rightarrow 3b + 26 = 50 \Rightarrow 3b = 24 \Rightarrow b = 8$. Тогда $a = 8 + 13 = 21$. (Тот же результат). Случай 4: Основание на 13 см больше боковой стороны ($b = a + 13$). $2a + (a + 13) = 50 \Rightarrow 3a = 37 \Rightarrow a = 12.33$. Если округлить до целых: $a=12$, то $b=25$. Проверка: $12+12 < 25$ — такой треугольник не существует.