Решите уравнение $\sqrt{4 + x\sqrt{x^2 + 40}} = x + 2$. Корни запишите в порядке возрастания.

Question

Вопрос:

Решите уравнение $\sqrt{4 + x\sqrt{x^2 + 40}} = x + 2$. Корни запишите в порядке возрастания.

$Решите уравнение $\sqrt{4 + x\sqrt{x^2 + 40}} = x + 2$. Корни запишите в порядке возрастания.$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: $x_1 = 0$; $x_2 = 3$** **Решение:** 1. Возведём обе части уравнения в квадрат: $4 + x\sqrt{x^2 + 40} = (x + 2)^2$ $4 + x\sqrt{x^2 + 40} = x^2 + 4x + 4$ 2. Упростим выражение, вычтя 4 из обеих частей: $x\sqrt{x^2 + 40} = x^2 + 4x$ 3. Вынесем $x$ за скобки в правой части: $x\sqrt{x^2 + 40} = x(x + 4)$ 4. Рассмотрим два случая: **Случай 1:** $x = 0$. Подставим в исходное уравнение: $\sqrt{4 + 0} = 0 + 2 \Rightarrow 2 = 2$. Корень $x_1 = 0$ подходит. **Случай 2:** $x \neq 0$. Разделим обе части на $x$: $\sqrt{x^2 + 40} = x + 4$ 5. Снова возведём в квадрат (при условии $x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$): $x^2 + 40 = (x + 4)^2$ $x^2 + 40 = x^2 + 8x + 16$ $40 = 8x + 16$ $8x = 24$ $x_2 = 3$ 6. Проверим $x_2 = 3$ подстановкой: $\sqrt{4 + 3\sqrt{9 + 40}} = \sqrt{4 + 3 \cdot 7} = \sqrt{25} = 5$. Справа: $3 + 2 = 5$. Корень подходит. 7. Запишем корни в порядке возрастания: $0$ и $3$.

Решите уравнение $\sqrt{4 + x\sqrt{x^2 + 40}} = x + 2$. Корни запишите в порядке возрастания.

Ответ ассистента

Другие решения