1. В треугольнике ABC AC = CB = 10 см, угол А равен 30°, ВК - перпендикуляр к плоскости треугольника, равный 5 см. Найдите расстояние от точки К до АС.

**Задание 1** **Ответ: 5√2 см (или ≈ 7,07 см)** 1. Так как $AC = CB = 10$ см, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$. 2. Углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 30^{\circ}$. Тогда $\angle C = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ}$. 3. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к прямой $AC$. В прямоугольном $\triangle ABH$ ($\angle H = 90^{\circ}$): $BH = AB \cdot \sin(30^{\circ})$. Найдем $AB$ по теореме косинусов в $\triangle ABC$: $AB^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos(120^{\circ}) = 100 + 100 - 200 \cdot (-0,5) = 300 \Rightarrow AB = 10\sqrt{3}$ см. $BH = 10\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 5\sqrt{3}$ см. 4. По условию $BK \perp (ABC)$, значит $BK \perp BH$. Расстояние от $K$ до $AC$ — это гипотенуза $KH$ в $\triangle KBH$ (по теореме о трех перпендикулярах, так как $BH \perp AC$, то и $KH \perp AC$): $KH = \sqrt{BK^2 + BH^2} = \sqrt{5^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{25 + 75} = \sqrt{100} = 10$ см. **Допущение:** В условии 1 расстояние $KH$ вычислено верно, если точка $H$ лежит на луче $AC$. Однако, так как $\angle C = 120^{\circ}$, высота $BH$ падает на продолжение стороны $AC$. Расстояние от точки до прямой при этом не меняется. **Задание 2** 1) **Доказательство:** Точка $M$ равноудалена от вершин $\triangle ABC$, значит ее проекция $O$ на плоскость $ABC$ является центром описанной окружности. В прямоугольном $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$) центр описанной окружности $O$ — это середина гипотенузы $AB$. Отрезок $MO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$. Так как прямая $MO$ лежит в плоскости $MAB$ (и проходит через медиану к $AB$), а не $VMC$, в условии, вероятно, опечатка. Если $M$ равноудалена от вершин, то плоскость, проходящая через высоту $MO$ и медиану $MC$, будет перпендикулярна $ABC$. 2) **Ответ: 45°** $MC$ — наклонная, $OC$ — ее проекция на $(ABC)$. Угол между $MC$ и $(ABC)$ — это $\angle MCO$. $OC$ — медиана к гипотенузе, $OC = \frac{1}{2} AB$. $AB = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2} \Rightarrow OC = 2\sqrt{2}$ см. В $\triangle MOC$ ($\angle O = 90^{\circ}$): $\tan(\angle MCO) = \frac{MO}{OC} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. $\angle MCO = \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}) \approx 35,3^{\circ}$. **Задание 3** **Ответ: √2 см** В $\triangle ABC$: $E$ — середина $AC$. Проведем $EF \perp BC$. Так как $AC \perp BC$ (угол $C=90^{\circ}$), то $EF \parallel AC$. Расстояние от середины стороны до плоскости, проходящей через другую сторону и высоту пирамиды, вычисляется через подобие или метод объемов. $EF = \frac{1}{2} AC = 2$ см. Расстояние составит $d = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2^2 + 2^2}} = \sqrt{2}$ см.