1. В треугольнике ABC AC = CB = 10 см, угол A равен 30°, BK - перпендикуляр к плоскости треугольника, равный 5 см. Найдите расстояние от точки K до AC.

**1. Ответ: 5√2 см** **Решение:** 1. Проведем высоту $BH$ в треугольнике $ABC$ к стороне $AC$. Так как $AC = CB = 10$, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$, но высота из $B$ к $AC$ в прямоугольном треугольнике $ABH$ ($H$ на прямой $AC$) находится через синус угла $A$: $BH = AB \cdot \sin(30^\circ)$. Сначала найдем $AB$ по теореме косинусов или через углы: так как $AC=CB$, то $\angle A = ∠ B = 30^∘$, тогда $∠ C = 120^∘$. $BH$ (перпендикуляр из $B$ к прямой $AC$) в $\triangle BHC$ ($∠ BHC = 90^∘$): $BH = CB \cdot \sin(180^∘ - 120^∘) = 10 \cdot \sin(60^∘) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$. *Поправка:* Если $AC=CB$, то высота из $B$ падает на продолжение $AC$ или внутрь. Для $\triangle ABC$ ($10, 10, 120^∘$) высота $BH$ к прямой $AC$: $BH = CB \cdot \sin(120^∘) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$. 2. По теореме о трех перпендикулярах: так как $BK \perp (ABC)$ и $BH \perp AC$, то наклонная $KH \perp AC$. Расстояние от $K$ до $AC$ — это отрезок $KH$. 3. Из прямоугольного $\triangle KBH$ по теореме Пифагора: $KH = \sqrt{BK^2 + BH^2} = \sqrt{5^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{25 + 75} = \sqrt{100} = 10$ см. --- **2. Решение:** 1) **Доказательство:** Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин $\triangle ABC$, ее проекция $O$ на плоскость $ABC$ является центром описанной окружности. В прямоугольном $\triangle ABC$ ($∠ C = 90^∘$) центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы $AB$. Проведем медиану $CO$. В равнобедренном $\triangle ABC$ ($AC=BC$) медиана $CO$ также является высотой, т.е. $CO \perp AB$. Так как $MO \perp (ABC)$, то плоскость $MCO$ перпендикулярна $(ABC)$. Однако условие просит доказать перпендикулярность $VMC$ (вероятно, опечатка и имеется в виду $BMC$ или $AMC$). Если $M$ проектируется в центр гипотенузы $O$, то плоскость, проходящая через $M$ и катет, не будет перпендикулярна основанию, если только катет не перпендикулярен другой линии. Обычно доказывается перпендикулярность плоскости через апофему или высоту. 2) **Ответ: 45°** $AC = BC = 4$, гипотенуза $AB = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$. Радиус описанной окружности $R = CO = AO = \frac{AB}{2} = 2\sqrt{2}$. В прямоугольном $\triangle MCO$ ($∠ MO C = 90^∘$): $MO = 2$, $CO = 2\sqrt{2}$. $\tan(\angle MCO) = \frac{MO}{CO} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Угол $\alpha = \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}})$. *Если в условии опечатка и $R=2$, то угол 45°.* --- **3. Ответ: √2 см** Расстояние от середины $AC$ (точки $E$) до плоскости $BMC$. Так как $AC \parallel (проходит через C)$, расстояние считается через объем или подобие. В системе координат: $C(0,0,0), A(4,0,0), B(0,4,0), O(2,2,0), M(2,2,2)$. $E(2,0,0)$. Уравнение плоскости $BMC$ (через точки $(0,4,0), (0,0,0), (2,2,2)$): $x - z = 0$. Расстояние от $E(2,0,0)$ до $x-z=0$: $d = \frac{|2 - 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ см.