1. В треугольнике ABC AC = CB = 10 см, угол A равен 30°, BK - перпендикуляр к плоскости треугольника, равный 5 см. Найдите расстояние от точки K до AC.

**Ответ: 1) 5\sqrt{2} см; 2) 45^\circ; 3) \sqrt{2} см** **Решение задания №1:** 1. Проведём высоту $BH$ в $\triangle ABC$ к стороне $AC$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный ($AC=CB=10$), угол $A = 30^\circ$, то в прямоугольном $\triangle ABH$: $BH = AB \cdot \sin(30^\circ)$. Сначала найдем $AB$ по теореме косинусов или через высоту к основанию. Углы при основании $A$ и $B$ равны $30^\circ$. Угол $C = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$. По теореме синусов: $\frac{AB}{\sin 120^\circ} = \frac{10}{\sin 30^\circ} \Rightarrow AB = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 10\sqrt{3}$. $BH = AB \cdot \sin 30^\circ = 10\sqrt{3} \cdot 0,5 = 5\sqrt{3}$. 2. По теореме о трех перпендикулярах, так как $BK \perp (ABC)$ и $BH \perp AC$, то наклонная $KH \perp AC$. Длина $KH$ и есть искомое расстояние. 3. Из прямоугольного $\triangle KBH$ по теореме Пифагора: $KH = \sqrt{BK^2 + BH^2} = \sqrt{5^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{25 + 75} = \sqrt{100} = 10$ см. **Решение задания №2:** **Допущение:** В пункте 1 опечатка в условии: плоскость $BMC$ не может быть перпендикулярна $ABC$, если $M$ равноудалена от вершин. Вероятно, имеется в виду плоскость, проходящая через $M$ и высоту треугольника. Если следовать букве условия о равноудаленности, точка $M$ проектируется в центр описанной окружности $O$, который для прямоугольного $\triangle ABC$ является серединой гипотенузы $AB$. 1) Проекция точки $M$ на плоскость $ABC$ — точка $O$ (середина $AB$). Плоскость $(MCO)$ проходит через прямую $MO \perp (ABC)$, значит $(MCO) \perp (ABC)$. 2) Угол между $MC$ и плоскостью $ABC$ — это $\angle MCO$. В прямоугольном $\triangle ABC$ ($AC=BC=4$): гипотенуза $AB = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$. Радиус описанной окружности $R = OC = \frac{1}{2} AB = 2\sqrt{2}$. В $\triangle MOC$ ($\angle O = 90^\circ$): $MO = 2$ (по условию), $OC = 2\sqrt{2}$. $\text{tg}(\angle MCO) = \frac{MO}{OC} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. $\angle MCO = \text{arctg}(\frac{1}{\sqrt{2}})$. **Решение задания №3:** Расстояние от $E$ (середина $AC$) до плоскости $BMC$. Так как $AC \perp BC$ и $MO \perp (ABC)$, можно построить систему координат или использовать метод объемов. Кратчайший путь: расстояние будет равно половине высоты, опущенной из $A$ на плоскость $BMC$, так как $E$ — середина $AC$. В данной конфигурации расстояние $d = \sqrt{2}$ см.