1. В треугольнике ABC AC = CB = 10 см, угол A равен 30°, BK - перпендикуляр к плоскости треугольника, равный 5 см. Найдите расстояние от точки K до AC.

**1. Ответ: $5\sqrt{2}$ см** **Решение:** 1. Проведем высоту $BH$ в треугольнике $ABC$ к стороне $AC$. Так как $AC = CB = 10$, треугольник равнобедренный с основанием $AB$. Однако по условию $AC=CB$, значит боковые стороны равны 10. Угол $A=30^{\circ}$. 2. В треугольнике $ABH$ ($H$ на прямой $AC$): $BH = AB \cdot \sin(30^{\circ})$. Нам нужно найти $AB$. В равнобедренном $\triangle ABC$ углы при основании $AB$ равны: $\angle A = \angle B = 30^{\circ}$. Тогда $\angle C = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ}$. 3. По теореме синусов: $\frac{BC}{\sin 30^{\circ}} = \frac{AB}{\sin 120^{\circ}} \Rightarrow AB = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{1/2} = 10\sqrt{3}$. 4. Из прямоугольного $\triangle ABH$ (высота к продолжению $AC$ или внутри): так как $\angle C = 120^{\circ}$, высота $BH$ падает на продолжение стороны $AC$. В $\triangle BHC$ ($\angle BCH = 180-120=60^{\circ}$): $BH = BC \cdot \sin(60^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см. 5. По теореме о трех перпендикулярах: так как $BK \perp (ABC)$ и $BH \perp AC$, то $KH \perp AC$. Расстояние от $K$ до $AC$ — это гипотенуза $KH$ в $\triangle KBH$. 6. $KH = \sqrt{BK^2 + BH^2} = \sqrt{5^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{25 + 75} = \sqrt{100} = 10$ см. **Допущение:** В задаче 1 под $AC=CB$ подразумеваются боковые стороны. Если $AC$ — основание, решение изменится. --- **2. Решение:** 1) Так как $M$ равноудалена от вершин, ее проекция $O$ на плоскость $ABC$ — центр описанной окружности. В прямоугольном $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$) центр лежит на середине гипотенузы $AB$. Линия $MO$ перпендикулярна $(ABC)$. Плоскость $VMC$ (вероятно, опечатка, имеется в виду $BMC$) или любая плоскость, проходящая через $MO$, перпендикулярна $(ABC)$. Так как проекция $M$ лежит на $AB$, а не на стороне $BC$, утверждение о перпендикулярности именно $BMC$ требует уточнения. Обычно перпендикулярна плоскость, проходящая через высоту пирамиды. 2) Угол между $MC$ и $(ABC)$ — это $\angle MCO$. В прямоугольном $\triangle ABC$ с катетами 4: $AB = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$. Радиус $OC = \frac{1}{2}AB = 2\sqrt{2}$. В $\triangle MCO$ (где $MO=2$): $\text{tg}(\angle MCO) = \frac{MO}{OC} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. **Ответ:** $\text{arctg}(\frac{\sqrt{2}}{2})$. --- **3. Ответ: $\sqrt{2}$ см** **Решение:** Расстояние от $E$ (середины $AC$) до плоскости $BMC$. В координатах или через объемы: $E$ находится на расстоянии половины катета от плоскости $BMC$, если считать проекции. Так как $AC \perp BC$ (в плоскости основания), то расстояние от $E$ до $BC$ равно $2$ см. Искомое расстояние $h = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2^2 + 2^2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ см.