1. Отрезки PN и ED пересекаются в их середине M. Докажите, что EN || PD.

1. **Доказательство:** Рассмотрим $\triangle EMN$ и $\triangle DMP$: 1) $EM = MD$ (так как $M$ — середина $ED$); 2) $NM = MP$ (так как $M$ — середина $PN$); 3) $\angle EMN = ∠ DMP$ (как вертикальные). Следовательно, $\triangle EMN = \triangle DMP$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что накрест лежащие углы $\angle MEN = \angle MDP$. Так как накрест лежащие углы равны, то $EN \parallel PD$, что и требовалось доказать. 2. **Ответ: ∠4 = 118°** Решение: 1) $∠2$ и $∠KPT$ (внутренний угол при вершине $P$) — соответственные углы. Если бы прямые $MK$ и $TP$ были параллельны, они были бы равны. Проверим параллельность через углы при секущей $KP$: сумма односторонних углов $\angle 2 + \angle 3 = 118° + 62° = 180°$. Значит, $MK \parallel TP$. 2) Так как $MK \parallel TP$, то соответственные углы при секущей $MT$ равны: $\angle 4 = \angle 1$ (внешний) или $\angle 4$ равен внешнему углу при $M$. Однако по чертежу $\angle 4$ и $\angle 1$ — односторонние. Сумма $\angle 1 + \angle 4 = 180°$ (внутренние односторонние при параллельных прямых). Тогда $\angle 4 = 180° - 47° = 133°$. **Допущение:** Если на рисунке $\angle 1$ и $\angle 4$ отмечены как накрест лежащие (что часто бывает в таких задачах при неточной отрисовке), то $\angle 4 = \angle 1 = 47°$. Но строго по геометрии параллельных прямых $MK \parallel TP$: $\angle 4 = 180° - 47° = 133°$. 3. **Ответ: ∠DMN = 21°** Решение: 1) Так как $DM$ — биссектриса $∠ADC$, то $∠ADM = ∠MDC = ∠ADC : 2 = 42° : 2 = 21°$. 2) Так как $MN \parallel CD$, то накрест лежащие углы при секущей $DM$ равны: $∠DMN = ∠MDC = 21°$. 4. **Ответ: ∠1=∠3=∠5=∠7 = 70°; ∠2=∠4=∠6=∠8 = 110°** Решение: 1) $∠3$ и $∠4$ — смежные, значит $∠3 + ∠4 = 180°$. 2) По условию $∠4 - ∠3 = 40°$. Составим систему: $\begin{cases} ∠3 + ∠4 = 180 \\ ∠4 - ∠3 = 40 \end{cases}$ Складываем уравнения: $2 ∠4 = 220 ⇒ ∠4 = 110°$. Тогда $∠3 = 180° - 110° = 70°$. 3) При $a \parallel b$: $\uuline{∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = 70°}$ (вертикальные и соответствующие); $\uuline{∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 110°}$ (вертикальные и соответствующие).