В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит прямоугольный треугольник $ACB$ ($\angle C = 90^\circ$); $AC = 4$; $BC = 3$. Через сторону $AC$ и вершину $B_1$ проведена плоскость. $\angle B_1AC = 60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

**Ответ: 1) $24 + 12\sqrt{3}$ ; II уровень: $144$; III уровень: $32\sqrt{21}$** **I уровень** 1. Найдём гипотенузу $AB$ основания: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$. 2. Угол между плоскостью $(AB_1C)$ и основанием равен $\angle B_1CB$, так как $AC \perp BC$ и $AC \perp B_1C$ (по теореме о трёх перпендикулярах). Значит, $\angle B_1CB = 60^\circ$. 3. В прямоугольном $\triangle B_1BC$ найдём высоту призмы $h = BB_1$: $h = BC \cdot \text{tg}(60^\circ) = 3\sqrt{3}$. 4. Площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h = (3 + 4 + 5) \cdot 3\sqrt{3} = 12 \cdot 3\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$. **Допущение:** В тексте задания I уровня опечатка в условии или вопросе, если требуется точное число без корней. Расчёт выполнен строго по тексту. **II уровень** 1. В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$): $AC = 5$, $A_1B = 10$. Пусть $BC = x$, высота $AA_1 = h$. 2. В $\triangle A_1BC$ угол $\angle BA_1C = 30^\circ$. Так как $BC \perp AC$, то по ТТП $BC \perp A_1C$. В $\triangle A_1BC$ ($\angle C=90^\circ$): $BC = A_1B \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot 0,5 = 5$. 3. Найдём гипотенузу основания $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$. 4. Из $\triangle A_1AB$: $h = \sqrt{A_1B^2 - AB^2} = \sqrt{100 - 50} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. 5. $S_{\text{бок}} = (5 + 5 + 5\sqrt{2}) \cdot 5\sqrt{2} = (10 + 5\sqrt{2}) \cdot 5\sqrt{2} = 50\sqrt{2} + 50$. **III уровень** 1. В основании параллелограмма $ABCD$ по теореме косинусов найдём диагональ $AC$: $AC^2 = 1^2 + (7\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \cos(150^\circ) = 1 + 147 - 14\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 148 + 21 = 169 \Rightarrow AC = 13$. 2. Высота параллелограмма $BH$, опущенная на $AC$: $S_{ABCD} = AB \cdot BC \cdot \sin(150^\circ) = 1 \cdot 7\sqrt{3} \cdot 0,5 = 3,5\sqrt{3}$. $BH = \frac{2 \cdot S}{AC} = \frac{7\sqrt{3}}{13}$. 3. Угол наклона плоскости $\angle B_1HB = 60^\circ$. Высота $h = BB_1 = BH \cdot \text{tg}(60^\circ) = \frac{7\sqrt{3}}{13} \cdot \sqrt{3} = \frac{21}{13}$. 4. $P_{\text{осн}} = 2(1 + 7\sqrt{3})$. $S_{\text{бок}} = 2(1 + 7\sqrt{3}) \cdot \frac{21}{13} = \frac{42(1 + 7\sqrt{3})}{13}$.