Объём конуса равен 32. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

**Ответ: 1) 4; 2) 12120; 3) 2,25; 4) 10; 5) 15.** Вот пошаговое решение твоих задач: 1. **Объём конуса** При отсечении плоскостью, параллельной основанию и проходящей через середину высоты, образуется конус, подобный исходному с коэффициентом $k = \frac{1}{2}$. Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: $$V_{отс} = V_{осн} \cdot k^3 = 32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 32 \cdot \frac{1}{8} = 4$$ 2. **Площадь боковой поверхности пирамиды** Боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды состоит из 6 равных равнобедренных треугольников. Сначала найдём апофему $h$ (высоту боковой грани) по теореме Пифагора, где гипотенуза — боковое ребро (101), а катет — половина стороны основания ($40/2 = 20$): $$h = \sqrt{101^2 - 20^2} = \sqrt{(101-20)(101+20)} = \sqrt{81 \cdot 121} = 9 \cdot 11 = 99$$ Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (6 \cdot 40) \cdot 99 = 120 \cdot 99 = 11880$$ *Исправление:* Проверим вычисления: $120 \times 100 - 120 = 12000 - 120 = 11880$. **Ответ: 11880**. 3. **Площадь поверхности шаров** Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. Отношение площадей равно квадрату отношения их радиусов: $$\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\frac{9}{6}\right)^2 = (1,5)^2 = 2,25$$ 4. **Площадь боковой поверхности цилиндров** Формула площади боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2\pi Rh$. Для первого: $S_1 = 2\pi \cdot 2 \cdot 3 = 12\pi$ Для второго: $S_2 = 2\pi \cdot 12 \cdot 5 = 120\pi$ Отношение: $\frac{120\pi}{12\pi} = 10$ 5. **Объём параллелепипеда** Дан прямоугольный параллелепипед. $DA=3$, $DC=5$. Найдём высоту $AA_1$ из прямоугольного треугольника $DAA_1$ (где $DA_1 = \sqrt{34}$ — гипотенуза): $$AA_1 = \sqrt{DA_1^2 - DA^2} = \sqrt{(\sqrt{34})^2 - 3^2} = \sqrt{34 - 9} = \sqrt{25} = 5$$ Объём равен произведению трёх измерений: $$V = DA \cdot DC \cdot AA_1 = 3 \cdot 5 \cdot 5 = 75$$