Решите уравнение: (x+3)/(x-3) + (x-3)/(x+3) = 3 1/3

**Ответ: $x_1 = 6$; $x_2 = -6$** **Решение:** Уравнение: $$\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = 3\frac{1}{3}$$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 3$ и $x \neq -3$. 2. Введём замену переменной. Пусть $t = \frac{x+3}{x-3}$. Тогда уравнение примет вид: $$t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$$ 3. Приведём к общему знаменателю и решим квадратное уравнение относительно $t$: $$\frac{t^2 + 1}{t} = \frac{10}{3}$$ $$3t^2 - 10t + 3 = 0$$ $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$$ $$t_1 = \frac{10 + 8}{6} = 3; \quad t_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ 4. Вернёмся к переменной $x$: **Случай 1:** $$\frac{x+3}{x-3} = 3$$ $$x + 3 = 3(x - 3)$$ $$x + 3 = 3x - 9$$ $$-2x = -12$$ $$x = 6$$ **Случай 2:** $$\frac{x+3}{x-3} = \frac{1}{3}$$ $$3(x + 3) = 1(x - 3)$$ $$3x + 9 = x - 3$$ $$2x = -12$$ $$x = -6$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ.