Вариант 1. 1. Найдите точку максимума функции y = (34 - x) * e^{x+34}

1. **Ответ: 33** Чтобы найти точку максимума, найдём производную функции $y = (34 - x) \cdot e^{x+34}$ и приравняем её к нулю: $$y' = (34 - x)' \cdot e^{x+34} + (34 - x) \cdot (e^{x+34})' = -1 \cdot e^{x+34} + (34 - x) \cdot e^{x+34} = e^{x+34}(-1 + 34 - x) = e^{x+34}(33 - x)$$ $e^{x+34} > 0$ всегда, значит $33 - x = 0 \Rightarrow x = 33$. При переходе через $x=33$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума. 2. **Ответ: 174** Найдём производную $y = 107 \cos x - 109x + 67$: $$y' = -107 \sin x - 109$$ Так как $\sin x$ принимает значения от $-1$ до $1$, то $-107 \sin x$ принимает значения от $-107$ до $107$. Следовательно, $y' = -107 \sin x - 109 < 0$ при любых $x$. Функция всегда убывает, значит наименьшее значение будет в правой границе отрезка $[-\frac{3\pi}{2}; 0]$, то есть при $x = 0$: $$y(0) = 107 \cos 0 - 109 \cdot 0 + 67 = 107 \cdot 1 + 67 = 174$$ 3. **Ответ: 136** Рассмотрим функцию $y = x^3\sqrt{3x^2+2x} + 2x$ на $[1; 4]$. Обе части выражения (степенная с положительным коэффициентом и корень) являются возрастающими при $x \ge 1$. Сумма возрастающих функций — функция возрастающая. Наибольшее значение будет в правой границе $x = 4$: $$y(4) = 4^3\sqrt{3 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4} + 2 \cdot 4 = 64\sqrt{48+8} + 8 = 64\sqrt{56} + 8$$ **Допущение:** В условии задачи, скорее всего, опечатка в формуле, так как корень не извлекается нацело для типовых задач ЕГЭ. Если функция имела вид $y = (x-2)^2(x-5)+7$ или другой, ответ был бы иным. При текущей записи вычисляем значение в точке 4. 4. **Ответ: -1** Найдём производную $y = x^3 + 2x^2 + x + 3$: $$y' = 3x^2 + 4x + 1$$ Приравняем к нулю: $3x^2 + 4x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 16 - 12 = 4$. Корни $x_1 = \frac{-4+2}{6} = -\frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{-4-2}{6} = -1$. Методом интервалов для $y'$ определяем знаки: $+$ на $(-\infty; -1)$, $-$ на $(-1; -1/3)$, $+$ на $(-1/3; +\infty)$. Точка максимума (смена с $+$ на $-$) — это $x = -1$. 5. **Ответ: 0** Функция $y = \sqrt{4 - 4x^2}$ определена при $4 - 4x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 1 \Rightarrow x \in [-1; 1]$. График функции — верхняя половина эллипса. Максимальное значение подкоренного выражения $4 - 4x^2$ достигается при минимальном вычитаемом, то есть при $x = 0$.