Контрольная работа по теме «Векторы» 1 вариант

1. Чтобы начертить три неколлинеарных вектора, расположите их так, чтобы они не лежали на одной прямой и не были параллельны друг другу. Например, направьте их в разные стороны под произвольными углами. 2. Упрощение выражений: а) Используем правило сложения векторов (правило треугольника): $\vec{PQ} + \vec{QA} + \vec{AE} + \vec{EF} = \vec{PA} + \vec{AF} = \vec{PF}$. б) $\vec{EF} + (\vec{PE} + \vec{FQ}) + \vec{AA}$. Так как $\vec{AA} = \vec{0}$, выражение принимает вид: $\vec{PE} + \vec{EF} + \vec{FQ} = \vec{PF} + \vec{FQ} = \vec{PQ}$. 3. Построение векторов: а) Для $\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b}$: отложите вектор $\frac{1}{2}\vec{a}$ (половина длины $\vec{a}$ в ту же сторону), затем от его конца отложите вектор $3\vec{b}$ (длина в 3 раза больше $\vec{b}$). Соедините начало первого с концом последнего. б) Для $2\vec{b} - \vec{a}$: отложите вектор $2\vec{b}$, а затем из его конца отложите вектор $-\vec{a}$ (вектор $\vec{a}$ в обратную сторону). Соедините начало с концом. 4. Выражение векторов через $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$: Так как $ABCD$ — ромб, $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{CD} = \vec{BA} = -\vec{a}$. - $\vec{AO} = \vec{AB} + \vec{BO} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{BD} = \vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AB}) = \vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$. - $\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$. - $\vec{KD} = \vec{AD} - \vec{AK} = \vec{b} - (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$.