Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150.

31. **Ответ: 50** Объём конуса $V_{кон}$ вычисляется по формуле $\frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, а объём цилиндра $V_{цил} = S_{осн} \cdot h$. Так как у них общие основание и высота, объём конуса в 3 раза меньше объёма цилиндра. $V_{кон} = \frac{150}{3} = 50$ 32. **Ответ: 24** Если правильная шестиугольная призма описана около цилиндра, то радиус цилиндра $r = \sqrt{3}$ является апофемой (высотой) равносторонних треугольников, из которых состоит основание (шестиугольник). Сторона шестиугольника $a = \frac{r}{\cos(30^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$. Периметр основания $P = 6 \cdot a = 6 \cdot 2 = 12$. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P \cdot h = 12 \cdot 2 = 24$. 33. **Ответ: 36** Радиус цилиндра $r = \sqrt{3}$ является радиусом вписанной окружности для правильного треугольника в основании. Сторона правильного треугольника $a = 2\sqrt{3} \cdot r = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$. Периметр основания $P = 3 \cdot a = 3 \cdot 6 = 18$. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P \cdot h = 18 \cdot 2 = 36$. 34. **Ответ: 15** Так как конус вписан в цилиндр (общее основание и высота), его объём в 3 раза меньше объёма цилиндра. $V_{цил} = 3 \cdot V_{кон} = 3 \cdot 5 = 15$ 35. **Ответ: 8** Если шар вписан в куб, то диаметр шара равен ребру куба $a$. $a = 2 \cdot r = 2 \cdot 1 = 2$. Объём куба $V = a^3 = 2^3 = 8$. 36. **Ответ: 6** Правильная четырёхугольная призма — это прямоугольный параллелепипед с квадратом в основании. Если в неё вписан цилиндр, то сторона квадрата $a$ равна диаметру цилиндра. $a = 2 \cdot r = 2 \cdot 2 = 4$. Периметр основания $P = 4 \cdot a = 4 \cdot 4 = 16$. Из формулы $S_{бок} = P \cdot h$ находим высоту: $h = \frac{S_{бок}}{P} = \frac{48}{16} = 3$. **Допущение:** В условии 36 задачи радиус основания равен 2, а площадь 48. Пересчитаем: $h = 48 / (4 \cdot (2 \cdot 2)) = 48 / 16 = 3$. Однако, если в тексте опечатка и $r=4$, ответ изменится. По текущим данным: **Ответ: 3**.