Из точки A к плоскости α проведена наклонная. Чему равен угол между этой наклонной и плоскостью α, если расстояние от точки A до плоскости α: 1) равно проекции наклонной на плоскость α; 2) в два раза меньше самой наклонной?

**Ответ: 1) 45^\circ; 2) 30^\circ** Пусть $A$ — точка вне плоскости, $H$ — её проекция на плоскость $\alpha$ (перпендикуляр), $M$ — точка пересечения наклонной с плоскостью. Тогда: - $AH$ — расстояние от точки до плоскости (катет); - $HM$ — проекция наклонной (катет); - $AM$ — наклонная (гипотенуза); - $\angle AMH$ — искомый угол между наклонной и плоскостью. 1) По условию $AH = HM$. В прямоугольном треугольнике $AHM$ катеты равны, значит, это равнобедренный прямоугольный треугольник. Углы при гипотенузе равны $45^\circ$. 2) По условию $AH = \frac{1}{2} AM$. Если катет в два раза меньше гипотенузы, то он лежит против угла в $30^\circ$. Следовательно, $\angle AMH = 30^\circ$.