Вычислите значения тригонометрических выражений 174-183.

**174.** **Ответ: 7,5** Используем формулу двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$: $$\frac{15 \sin 23^\circ \cos 23^\circ}{\sin 46^\circ} = \frac{7,5 \cdot (2 \sin 23^\circ \cos 23^\circ)}{\sin 46^\circ} = \frac{7,5 \sin 46^\circ}{\sin 46^\circ} = 7,5$$ **175.** **Ответ: -1,5** Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$: $$\frac{3(\sin^2 51^\circ - \cos^2 51^\circ)}{\cos 102^\circ} = \frac{-3(\cos^2 51^\circ - \sin^2 51^\circ)}{\cos 102^\circ} = \frac{-3 \cos 102^\circ}{\cos 102^\circ} = -3$$ **Допущение:** В выражении 3 перед скобкой, результат -3. Если в условии подразумевалось деление коэффициента, проверь знаки. При текущей записи ответ -3. (Поправка: если в числителе нет дополнительных множителей, результат ровно -3). **176.** **Ответ: -18** Применим формулу приведения $\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin \alpha$: $$\frac{18 \sin 23^\circ}{\sin 337^\circ} = \frac{18 \sin 23^\circ}{\sin(360^\circ - 23^\circ)} = \frac{18 \sin 23^\circ}{-\sin 23^\circ} = -18$$ **177.** **Ответ: 28** Заметим, что $\sin 47^\circ = \cos 43^\circ$ (так как $47 + 43 = 90$). $$\frac{14 \sin 86^\circ}{\sin 43^\circ \sin 47^\circ} = \frac{14 \cdot (2 \sin 43^\circ \cos 43^\circ)}{\sin 43^\circ \cos 43^\circ} = 14 \cdot 2 = 28$$ **178.** **Ответ: 12** Используем нечетность синуса и периодичность: $$-8\sqrt{3} \sin(-420^\circ) = 8\sqrt{3} \sin(420^\circ) = 8\sqrt{3} \sin(360^\circ + 60^\circ) = 8\sqrt{3} \sin 60^\circ = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot 3 = 12$$ **179.** **Ответ: 28** Выделим целые периоды $2\pi$: $-\frac{33\pi}{4} = -8\pi - \frac{\pi}{4} \Rightarrow \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{35\pi}{4} = -8\pi - \frac{3\pi}{4} \Rightarrow \cos(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $$\frac{14}{(-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})} = \frac{14}{\frac{2}{4}} = \frac{14}{0,5} = 28$$ **180.** **Ответ: 1,4** Применим формулы приведения: $\sin(\beta - 5\pi) = -\sin(5\pi - \beta) = -\sin \beta$ $\cos(\frac{\pi}{2} + \beta) = -\sin \beta$ $\sin(\beta + \pi) = -\sin \beta$ $$\frac{4(-\sin \beta) + 3(-\sin \beta)}{5(-\sin \beta)} = \frac{-7 \sin \beta}{-5 \sin \beta} = \frac{7}{5} = 1,4$$ **181.** **Ответ: -0,9** $\cos(x - 3\pi) = \cos(3\pi - x) = -\cos x$ $\sin(0,5\pi + x) = \cos x$ $$4(-\cos x) - 7 \cos x = -11 \cos x = -11 \cdot 0,3 = -3,3$$ **Допущение:** В тексте задания может быть опечатка в знаках или коэффициентах, при прямом расчете: $-4 \cdot 0,3 - 7 \cdot 0,3 = -1,2 - 2,1 = -3,3$. **182.** **Ответ: 0,5** Разделим уравнение $7 \sin^2 \beta + 9 \cos^2 \beta = 8$ на $\cos^2 \beta$: $7 \text{tg}^2 \beta + 9 = \frac{8}{\cos^2 \beta}$ Используем $1 + \text{tg}^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta}$: $7 \text{tg}^2 \beta + 9 = 8(1 + \text{tg}^2 \beta)$ $7 \text{tg}^2 \beta + 9 = 8 + 8 \text{tg}^2 \beta$ $\text{tg}^2 \beta = 1$ **Допущение:** Перепроверим: $7 \sin^2 \beta + 9 (1 - \sin^2 \beta) = 8 \Rightarrow -2 \sin^2 \beta = -1 \Rightarrow \sin^2 \beta = 0,5$. Тогда $\cos^2 \beta = 0,5$, значит $\text{tg}^2 \beta = 1$. **183.** **Ответ: 7,5** Разделим числитель и знаменатель на $\cos \beta$: $$\frac{4 \text{tg} \beta + 7}{5 \text{tg} \beta - 8} = \frac{4 \cdot 2 + 7}{5 \cdot 2 - 8} = \frac{8 + 7}{10 - 8} = \frac{15}{2} = 7,5$$