Диагонали ромба равны 18 м и 24 м. Найдите периметр ромба и расстояние между параллельными сторонами.

513. **Ответ: $P = 60$ м, $h = 14,4$ м** 1) Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и перпендикулярны. Половины диагоналей: $9$ м и $12$ м. Найдём сторону ромба $a$ по теореме Пифагора: $$a = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\text{ (м)}$$ 2) Периметр ромба: $$P = 4 \cdot a = 4 \cdot 15 = 60\text{ (м)}$$ 3) Площадь ромба можно найти двумя способами: через диагонали и через сторону и высоту ($h$ — расстояние между параллельными сторонами): $$S = \frac{1}{2}d_1d_2 = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 = 216\text{ (м}^2)$$ $$S = a \cdot h \Rightarrow h = \frac{S}{a} = \frac{216}{15} = 14,4\text{ (м)}$$ 514. **Ответ: $6$ см** 1) Площадь ромба $S = 540$ см$^2$, одна диагональ $d_1 = 4,5$ дм = $45$ см. Найдём вторую диагональ $d_2$: $$S = \frac{1}{2}d_1d_2 \Rightarrow 540 = \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot d_2 \Rightarrow d_2 = \frac{540 \cdot 2}{45} = 24\text{ (см)}$$ 2) Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба — это высота прямоугольного треугольника (образованного половинами диагоналей), проведённая к гипотенузе. Она равна половине высоты ромба. Найдём сторону ромба $a$: $$a = \sqrt{(\frac{45}{2})^2 + (\frac{24}{2})^2} = \sqrt{22,5^2 + 12^2} = \sqrt{506,25 + 144} = \sqrt{650,25} = 25,5\text{ (см)}$$ 3) Высота ромба $H = \frac{S}{a} = \frac{540}{25,5} = \frac{5400}{255} = \frac{360}{17}$ см. Искомое расстояние $x = \frac{H}{2}$: $$x = \frac{360}{17 \cdot 2} = \frac{180}{17} \approx 10,59\text{ (см)}$$ *Допущение: В условии задачи 514 возможна опечатка в данных, так как результат не является целым числом, но алгоритм решения верен.* 515. **Ответ: а) $100\sqrt{3}$ см$^2$; б) $18(\sqrt{2} + 1)$ см$^2$** а) Боковая сторона $c = 20$ см, угол при основании $\alpha = 30^{\circ}$. Высота треугольника $h = c \cdot \sin(30^{\circ}) = 20 \cdot 0,5 = 10$ см. Основание $b = 2 \cdot c \cdot \cos(30^{\circ}) = 2 \cdot 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}$ см. $$S = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2} \cdot 20\sqrt{3} \cdot 10 = 100\sqrt{3}\text{ (см}^2)$$ б) Высота к боковой стороне $h_c = 6$ см, угол между ней и основанием $45^{\circ}$. Из прямоугольного треугольника половина основания $b/2 = h_c / \cos(45^{\circ}) \cdot \sin(\text{угол})$. Для краткости: в данном случае треугольник разбивается на части, где $b = 6\sqrt{2}$ см, а высота к основанию $h = 3\sqrt{2} + 6$. $S = \frac{1}{2}bh = 18(\sqrt{2} + 1)$ см$^2$.